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《数论初步—数的整除性》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数论初步(一)整数的整除性定义:设a,b为二整数,且b≠0,如果有一整数c,使a=bc,则称b是a的约数,a是b的倍数,又称b整除a,记作b
2、a.显然,1能整除任意整数,任意整数都能整除0.性质:设a,b,c均为非零整数,则①.若c
3、b,b
4、a,则c
5、a.②.若b
6、a,则bc
7、ac③.若c
8、a,c
9、b,则对任意整数m、n,有c
10、ma+nb④.若b
11、ac,且(a,b)=1,则b
12、c证明:因为(a,b)=1则存在两个整数s,t,使得as+bt=1∴asc+btc=c∵b
13、acÞb
14、asc∴b
15、(asc+btc)Þb
16、c⑤.若(a,b)=1,且a
17、c,b
18、c,则ab
19、c证明:a
20、c,则c=
21、as(s∈Z)又b
22、c,则c=bt(t∈Z)又(a,b)=1∴s=bt'(t'∈Z)于是c=abt'即ab
23、c⑥.若b
24、ac,而b为质数,则b
25、a,或b
26、c⑦.(a-b)
27、(an-bn)(n∈N),(a+b)
28、(an+bn)(n为奇数)整除的判别法:设整数N=①.2
29、a12
30、N, 5
31、a15
32、N②.3
33、a1+a2+…+an3
34、N 9
35、a1+a2+…+an9
36、N③.4
37、 4
38、N 25
39、 25
40、N④.8
41、8
42、N 125
43、125
44、N⑤.7
45、
46、-
47、7
48、N⑥.11
49、
50、-
51、11
52、N⑦.11
53、[(a2n+1+a2n-1+…+a1)-(a2n+a2n-2+…+a2)]11
54、N⑧.13
55、
56、-
57、13
58、
59、N推论:三个连续的整数的积能被6整除.例题:1.设一个五位数,其中d-b=3,试问a,c为何值时,这个五位数被11整除.解:11
60、∴11
61、a+c+d-b-a即11
62、c+3∴c=81≤a≤9,且a∈Z2.设72
63、,试求a,b的值.解:72=8×9,且(8,9)=1∴8
64、,且9
65、∴8
66、Þb=6且9
67、a+6+7+3+6即9
68、22+a∴a=53.设n为自然数,A=3237n-632n-855n+235n,求证:1985
69、A.证明:∵1985=397×5A=(3237n-632n)-(855n-235n)=(3237-632)×u-(855-235)×v(u,v∈Z)=5×521×u-5×1
70、24×v∴5
71、A又A=(3237n-855n)-(623n-235n)=(3237-855)×s-(623-235)×t(s,t∈Z)=397×6×s-397×t∴397|A又∵(397,5)=1∴397×5|A即1985|A4.证明:没有x,y存在,使等式x2+y2=1995(x,y∈Z)成立.证:假设有整数x,y存在,使x2+y2=1995成立。∵x2,y2被4除余数为0或1.∴x2+y2被4除余数为0,1或2.又∵1995被4除余数为3.∴得出矛盾,假设不成立.故没有整数x,y存在,使x2+y2=1995成立.费马小定理:若p是素数,(m,p)=1则p
72、mp-1-15.试证:9
73、99…9能被13整除.12个证明:∵10-1=9,100-1=99,…‚1012-1=999…9. 12个又(10,13)=1∴13|(1013-1-1),即13|(1012-1)∴13|999…9. 12个6.请确定最小的正整数A,其末位数是6,若将未位的6移至首位,其余数字不变,其值变为原数的4倍.解:设该数为A=,其中a1=6令x=则A==x·10+6于是4A==6×10n-1+x即有4×10x+24=6×10n-1+xx=∵(2,13)=1,x是整数∴13
74、(10n-1-4)n=1,2时,10n-1-4<10显然不满足条件n=3时,10n-1-
75、4=96不满足条件n=4时,10n-1-4=996不满足条件n=5时,10n-1-4=9996不满足条件n=6时,10n-1-4=99996满足条件∴x==15384即A=1538467.一个正整数,如果用7进制表示为,如果用5进制表示为,请用10进制表示这个数.解:由题意知:0<a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则n==a×72+b×7+c,n==c×52+b×5+a∴49a+7b+c=25c+5b+a48a+2b-24c=0b=12(c-2a)∴12|b,又∵0≤b≤4 ∴b=0,∴c=2a∴当a=1,c=2时,n=51当a=2,c=4时,n=102练习:1.证明:设N
76、=19881988-19861986,则1987∣N2.设n是自然数,求证n5-n可被30整除.3.请确定最小的正整数A,其末位数为2,若将末位数2移至首位,其余数字不变,则是原数的2倍.4.一个正整数,若用9进制表示为,若用7进制表示为,请用10进制表示此数.5.五位数能被4整除,最末两位组成的数能被6整除,求此五位数.