论文 竞赛数学中的整除问题

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1、数学科学学院本科学年论文竞赛数学中的整除问题竞赛数学中的整除问题引言整数的整除性是初等数论的基本内容，虽然它的性质较为简单，但它的解题往往需要一定的技巧，因此在各类数学竞赛中占有一定的比例。运用整除的性质可以解决一些繁琐的问题。整除与其他的数学方法结合是解决一些竞赛数学问题的技巧方法。例如：整除的基本性质，分解因式，按模分类等等，此文章就是研究通过这些技巧的方法来解决一些竞赛中出现的问题。-11-数学科学学院本科学年论文竞赛数学中的整除问题一整数的整除性的有关概念、性质整除的定义：对于两个整数a、d(d≠0)，若存在一个整数p，

2、使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d

3、a。若d不能整除a，则记作da，如2

4、6，46。基本性质：1)若b

5、a，则b

6、(-a)，且对任意的非零整数m有bm

7、am2)若a

8、b，b

9、a，则

10、a

11、=

12、b

13、;3)若b

14、a，c

15、b，则c

16、a4)若(a,b)=1，且ac,bc，则abc.反过来也成立：(a,b)=1，　abc，　则ac,bc.5)若b

17、ac，而b为质数，则b

18、a，或b

19、c；6)若c

20、a，c

21、b，则c

22、(ma+nb)，其中m、n为任意整数(这一性质还可以推广到更多项的和)二解决整除问题常用的几种方法：解决整出问题一般有以

23、下方法：（1）利用整除基本性质；（2）利用连续整数之积的性质(3)分解因式法；(4)按模分类法；(5)反证法．（1）利用整除的基本性质；例1：已知x，y，z均为整数，若11

24、(7x+2y-5z)，求证：11

25、(3x-7y+12z)。证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而11

26、11(3x-2y+3z),且11

27、(7x+2y-5z),∴11

28、4(3x-7y+12z)又(11,4)=1∴11

29、(3x-7y+12z).例2：设72

30、的值。解：72=8×9，且(8，9)=1，所以只需讨论8、9都

31、整除的值。-11-数学科学学院本科学年论文竞赛数学中的整除问题若8

32、，则8

33、，由除法可得b＝2。若9

34、，则9

35、(a+6+7+9+2)，得a=3。（2）利用连续整数之积的性质①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被2整除。②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。例3:证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。证明:∵为连续二整数的积,必可被2整除.∴对任何整数n均为整数,∵为整

36、数,即原式为整数.又∵，2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，∴是能被3整除的整数.故被3除时余2.例4一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明∵a2+23=(a2-1)+24，只需证a2-1可以被24整除即可.-11-数学科学学院本科学年论文竞赛数学中的整除问题∵2.∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为二个连续整数，故k(k+1)必能被2整除，∴8

37、4k(k+1)，即8

38、(a2-1).又∵(a-

39、1)，a，(a+1)为三个连续整数，其积必被3整除，即3

40、a(a-1)(a+1)=a(a2-1)，∵3a，∴3

41、(a2-1).3与8互质,∴24

42、(a2-1),即a2+23能被24整除.例5使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?解：n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例6：设a、b、c为满足不等式1＜a＜b＜c的整数

43、，且(ab-1)(bc-1)(ca-1)能被abc整除，求所有可能数组(a，b，c).解∵(ab-1)(bc-1)(ca-1)=a2b2c2-abc(a+b+c)+ab+ac+bc-1，①∵abc

44、(ab-1)(bc-1)(ca-1).∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc,②k=＜＜＜＜∴k=1.若a≥3，此时1=-＜矛盾.已知a＞1.∴只有a=2.当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，即1=＜∴0＜b＜4，知b=3，从而易得c=5.-11-数学科学学院本科学年论文竞赛数学中的整除问题（3）用因式分解方法解答数

45、的整除问题定理：n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.例如：a为整数时，2a(a+1)，　　6a(a+1)(a+2),　24a(a+1)(a+2)(a+3)，……性质：若a且ac,　则　a(bc).公式：（n为正整数）由(a－b