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1、初中数学竞赛：数的整除(同余)【内容提要】一•同余的概念两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a,b关于模m同余.记作a=b(modm).如：8和15除以7同余1,记作8=15(mod7),读作8和15关于模7同余.72003=7X286+1,.*.2003=1(mod7)；・・・一7和6对于模13同余6(余数是非负数)/.—7三6(mod13)；・・・35和0除以5,余数都是0(即都能整除)A35=0(mod5)・二.用同余式判定数的整除若a=b(modm),则m
2、(a—b).艮卩a—b=0(modm)Om
3、
4、(a—b).例如：ll=25(mod7)<=>7
5、(25-11)；或7
6、(11—25).・.・25+35三2+3三o(mod5),.-.5
7、25+35.三.同余的性质(注意同余式与等式在变形中的异同点)a三b(mod1.传递性：>=>tz=c(modm).b=c(mod加)a三b(mod[a+c=b+d(modm)；2.可加可乘性：,…Jc三J(mod/z?).J[ac三bdmodm).推论川移性：a三b+c(modm)=>(a—b)三c(modm).可倍性：a=b(modm)=>ka=kb(modm)(k为正整数).可
8、乘方：a=b(modm)=>an=bn(modm)(n为正整数).abtn3.当d是a,b,m的正公因数时，a=b(modm)=>—=—(mod一).ddd如：2是20,26,6的正公因数，20=26(mod6)=>10=13(mod3).二.根据抽屉原则：任给m+1个整数，其屮至少有两个数对于模m同余.即至少有两个，其差能被m整除.例如：任给5个数a,b,c,d,e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.・・•除以4的余数只有0,1,2,3四种.・・・5个数除以4至少有两个同余.【例题】例1.己知：69,90,125除以正整
9、数n有相同的余数.求：n的值解：V69=90(modn),90=125(modn).・•・n
10、(90-69),n
11、(125-90).而21,35的最大公约数是7,记作⑵,35)=7(7是质数).n=7例2.求38邛余以5的余数.解：V38=3(mod5),・・・3炉三38三(3予三(一1)4三1(mod5).(注意9除以5余4,一1除以5也是余4,.32=-1(mod5)例3.求7俨的个位数字.解：V74k+n与7"的个位数字相同，且9三1(mod4),・；99=19=1(mod4).・・・799与71的个位数字相同都是7
12、.例4.求证：7
13、(22225555+55552222)-证明:T22225555+55552222=(22225)1111+(5555织山V2222=7X317+3,.*.2222=3(mod7)；A22225=35=5(mod7)；5555=7X793+4.5555=4(mod7).55552=42=2(mod7).A22225+55552=5+2=0(mod7).即2222s=-55552(mod7).・・・(22225)1,H=(-55552)i,m=-(55552)1111(mod7).・・・22225题+5555
14、型2三o(mod7)..7
15、(22225555+5555叱).例5.求使3?"—1能被5整除的一切自然数n.解：V32=—1(mod5),.(32)n=(-l)n(mod5).32n-l=(-l)n-l(mod5)・・•当且仅当n为偶数时，(-l)n-l=0.・••使3加一1能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6・已知：a,b,c是三个互不相等的正整数.求证：a3b—abb3c—be3,c3a—ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.证明：用同余式判定整除法证明当正整数n的个位数是0,1,4,5,6,9时，r?的个位
16、数也是0,1,4,5,6,9.・；这吋n3=n(mod10)；当正整数n的未位数为2,3,7,8时，I?的个位数分别是8,7,3,2.•・・8与一2,7与一3,3与一7,2与一8,除以1()是同余数，・；这时n3=—n(mod10)；把三个正整数a,b,c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a,b的末位数是同一类，那么a3b—ab3=ab—ab=O(mod10)；或a'b—ab"三(一a)b—a(—b)三0(mod10).・•・10
17、(a3b-ab3)【练习】1.三个数33,45,69除以正整数N有相同
18、余数，但余数不是0,那么N=2.求7,的个位数字.3.求3745"除以19的余数；4咲9除以9的余数.1.求1989,9904-1990的余数.2.四个数2836,4582,5164,6522都被同一个正整数除,所得的余数都相同且不是0,求除数和余数.3.求证：7
19、(33334444+44
