整数的整除性与同余(教案)

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1、整数的整除性与同余（教案）教学内容整除与同余教学目标1让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质;2能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题.教学过程一、整数的整除性1、整除的定义：对于两个整数a、b（b≠0），若存在一个整数m，使得成立，则称b整除a，或a被b整除，记作b

2、a.2、整除的性质1）若b

3、a,则对于任意非0整数m有bm

4、am;2)若b

5、a，c

6、b，则c

7、a3)若b

8、ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b

9、c；4)若b

10、ac，而b为质数，则b

11、a，或b

12、c；5)若c

13、a，c

14、b，则

15、c

16、（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）6）连续整数之积的性质任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除例1（1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11｜11(3x-2y+

17、3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1∴ 11｜(3x-7y+12z)例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜试求a,b的值。解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除时a,b的值。若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。证明：∵为连续二整数的积,必可被2整除.∴对任何整数n均为整数,∴为整数,即原式为整数.又∵;2n、2n+1、2n+2为三

18、个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，∴是能被3整除的整数.故被3除时余2.例4 一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明 ∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2.∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8

19、4k（k+1），即8

20、（a2-1）.又∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3

21、a（a-1）（a+1）=a（a2-

22、1），∵3 a，∴3

23、（a2-1）.3与8互质,∴24

24、(a2-1),即a2+23能被24整除.二、同余及其性质1、同余的概念同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为:a≡b（modm）.（*）上式可读作：a同余于b，模m.同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：ab（modm）2、同余的性质同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而

25、m是自然数）性质1：a≡a（modm），（反身性）　这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。性质2：若a≡b（modm），那么b≡a（modm），（对称性）。性质3：若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm），（传递性）。性质4：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm），（可加减性）。性质5：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）。性质6：若a≡b（modm），那么an≡bn（modm），（其中n为自然数）。性质7：若ac≡bc

26、（modm），（c，m）=1，那么a≡b（modm），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？解：∵288-214=74=37×2，∴288≡214（mod37），∵74-20=54，而3754，∴7420（mod37）。例2求14389除以7的余数。分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方

27、，找找有什么规律。解：∵143≡3（mod7）　　∴14389≡389（mod7）∵89＝64+16+8+1　　而32≡2（mod7），　　34≡4（mod7），　　38≡16≡2（mod7），316≡4（mod7），　　332≡16≡2（mod7），　　364≡4（mod7）。　　∵389≡364·316·38·3