16数列中的分类讨论问题的研究

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1、专题：数列中的分类讨论问题的研究一、问题提出问题1:I2—2?+3?—4，4(―1)"1的值为二、思考探究探究1：已知函数/⑴为二次函数，不等式/⑴+2v0的解集为(-1丄),且对任意的恒有/(sina)

2、〉=(一l〉・S.t7；=—$+9—®+S.-・・・+(—①当加为偶数时•T.=(-Sx+St)+(-S>+S<)—=62+久+•••+&■=3死'+2刀②当刃为奇数时，T=t]_$一3(“一1)'+2(”一1)"(l+3n—2)_—3卅一2”十1二咛”+匕为奇数)咛也(“为偶数)10分12分14分16分⑵・・・/(a.+l〉一/3=号(並+1)*+(%+1)—号一碍云+心一

3、)=3久+号,3a.+厂-1=1一二T7=仝E8分/(aw+l)-/(a.)—

4、-3a.+l3a.十1即士呛+3•故数列中为等差数列探究2：己知等比数列｛色｝的首项再=2012,公比q=--,数列｛色｝前斤项和记为

5、S”，前〃项积记为2II（n）.（1）求数列｛Sn｝的最大项和最小项;（2）判断

6、口（耐与

7、口5+1）

8、的大小，并求几为何值时,口⑷取得最大值;（3）证明｛色｝屮的任意相邻三项按从小到人排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为心九孔…心,证明澈列｛心｝为等比数列解：（1）S严=討[1_（_*门32（1）当n是奇数时，Sn=訓[1+（少"],单调递减，・・・S

9、>S3>S5>>52w_!>討，（2）当n是偶数时，—（+）"],单调递/.52<54

10、^；综上，当n=l时，S”有最大值为5,=2012;当n=2时，S”有最小值为S

11、?=1006（2）・・・

12、帥）冃％2色…叩，」器：）¥=叽门012（少,..2012.1.2012则当/7<10时,

13、n（n+l）

14、>

15、n（n）

16、；当n>ll时，

17、口（“+1）同口（涮,又n（io）o,n（i2）>o,.-.

18、n（n）

19、的最大值是n⑼和口（i2）中的较大者.v^^=aI0«11a12=«ll3=[2011（-护F>1,・・.口（⑵>口（9）,因此当n=12时，n（n）最大.（3）

20、色

21、随n增大而减小，数列⑺”｝的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.①当n是奇数时,调整为°”+],a”+2，a“•则%+1十an=a（~2）'+坷=¥'加

22、“+2=2®（-*）"“=¥'・•・£+1+d”=2%+2心+1心+2，%成等差数列;②当n是偶数时，调整为色,勺+2卫曲；贝I」%+an=a（-寺）"+ai（-扩、2%2=2q（一扩=号，・•・%+1+6=2%,①卫“+2卫“+1成等差数列;综上可知，数列｛匕｝屮的任意相邻三项按从小到人排列，总可以使其成等差数列.14分①n是奇数时,公差=%2-%+i=5[(-号严-(-*)"]=孝T；②n是偶数吋,公差dn=an+2-an=a^丄yT]=3坷27J_2^无论n是奇数还是偶数，都有Q笋,则走吵因此，数列｛d”｝是首项为扌坷，公比为+的等比数列.探究3：己知数列％=n-16,bn=(一

23、1)"n-15，其中mgTV*(1)求满足an+i=bn的所有正整数n的集合;(2)mH16,求数列的最大值和最小值;(3)记数列｛匕何｝的前n项和Sn,求所有满足S2fn=S2n(m15,a7^N*}(2)15ann-6⑴当n>16时，n取偶数仪=巴二匕ann-161=1+n-161Q当小时(評T无最小值;収奇数时如二1・一!一anzi-16n=17时(如)min=-2无最大值(ii)当nvl6时

24、,(—1)5—15)n-16,当n为偶数时如=-5一15)1=-1/?-16/?-16n=14时(一—)anmax(如)亠门丿minan141=1+7anh-16/?-16当n奇数如=巴二口(如)5=114max-115151人272=15,(—)min=O综上，二绘大值为一(n=18)最小值・25=17)5an2(3)n<15时，bn=(・l)n"(n・15),如.血小+如妇=2(16-2k)>0,n>5时，加=(・l)"(n