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1、浅淡数列中的分类讨论问题钟杰伦（通讯地址：浙江省鲁迅中学）摘要：分类讨论思想是高中数学的一种重要的思想，也是历年高考的考察重点．在数列这一章的题目中，作者通过多年的教学观察和总结分析,发现同学们在解决数列问题的过程中,往往会在涉及到分类讨论的题目中出问题.下面我们总结几类常见的数列题中需要分类讨论来解决的问题.问题一:用数列前n项和求数列的通项公式问题例1、已知数列的前n项和为，且，则【答案】【解析】当，；当时，不符合上式，所以.评析:此题是与的关系问题.关键要知道由求时分两类讨论．其实同学们在解决此类问题时,每次先写好公式:,代入求解,然后看两类能否合并,
2、就不容易出错了.例2、已知数列中，.【解析】，①，②①-②：，，即（），又=2，时，数列是以2为首项，3为公比的等比数列.7，故.评析:此题是个易错题,容易出现没有讨论的错误.事实上,如果我们把题中的记作数列的前项和,再利用前项和求通项公式的公式:,就可以避免少讨论的错误了.问题二:讨论等比数列公比问题例3、求和：.【解析】记当时，当时，∴原式=.评析:此题是基础题,关键在以能准确讨论的取值,也就是讨论等比数列的公比是否会等1的问题.此题给同学们的启示是,当等比数列公比是参数时,其前n项和.例4、已知数列中,且(且).(1)设,证明:数列是等比数列;(2)求
3、数列的通项公式.7【解析】（1）(2)由(1)易知,,,…………………………………………(Ⅰ)①当时,由上式易得,②当时,由上式易得.综上可知.评析:此题的易错点在于对公比的讨论,等比数列的前n项和问题往往会出现公比为参数的情形,此时讨论公比是否可以等于1就是解决题目的关键.牢记等比数列前n项和公式,此类问题也就迎刃而解了.问题三:数列通项公式含的问题例5、已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前项和．（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】：（1）在中，令，，7得即解得，，．，．（2
4、）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．，等号在时取得．此时需满足．②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．是随的增大而增大，时取得最小值．此时需满足．综合①、②可得的取值范围是．评析:数列问题中,经常会出现的形式,当数列通项公式中出现的形式时,往往对分奇、偶讨论,问题就迎刃而解了.例6、已知数列，，其前项和满足,其中．（Ⅰ）设，证明：数列是等差数列；（Ⅱ）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．【解析】：（Ⅰ）当时，，∴当时，，∴，7即，∴（常数），又，∴是首项为2，公差为1的等差数列，．（Ⅱ）由得，，，（i）当n为奇数
5、时，即恒成立，当且仅当n=1时，有最小值为1，；（ii）当n为偶数时，即恒成立，当且仅当n=2时，有最大值-2，．，又λ为非零整数，则λ=-1.综上所述：存在λ=-1，使得对任意，都有成立．评析:此题仍然是题中出现的问题,只需要对分奇、偶讨论,问题也就解决了.问题四:分段数列和带三角函数的类周期数列的求和问题例７、数列是递增的等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（２）求数列的前项和．【解析】：（1）由，得、是方程的二个根，，此等差数列为递增数列，，公差，.（２）由得，解得，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当且时，7．当且时，评析:此题
6、是个基础题，这个题的关键在于求数列的前和时，注意对的范围的讨论．很多同学在计算这个题目时，只计算到了第二种可能，而没有考虑第一种情形的求和方式是不同的．例８、数列的通项，其前n项和为.(1)求;(2)求数列｛｝的前n项和.【解析】:(1)由于,故,故()(2)7两式相减得故评析:这个题是个典型的分组求和的问题．当数列的通项公式中带有正弦、余弦等三角形式时，往往都可以先考虑三角式的周期，然后再按三角式的周期进行分组求和．当然这类的题目往往也可以运用并项求和的方式来处理．参考文献：1、《师说》辽宁大学出版社2、《教材解读与拓展》开明出版社3、《重点难点》华中师范
7、大学再版社7
