中考数学专题复习：开放探究题

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中考数学专题复习：开放探究题开放探允问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论;其次是给定条件，判断存在与否的问题;近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初屮阶段的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。开放探允问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。类型一：探究条件型探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。例1.已知命题：如图，点〃，AB,F在同一条直线上，匙A乍BE,乙住乙FDE,则厶月仇纟更判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给正明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.••解：是假命题.以下任一方法均可：①添加条件：AC二DF.证明：TAD二BE,・・・AD+BD二BE+BD,即AB=DE.在△八BC和ZiDEF中，AB=DE,ZA=ZFDE,AC二DF,.•.AABC^ADEF(^5).②添加条件：ZCBA^ZE.证明：TAD二BE, ・・・AD+BD二BE+BD,即AB=DE.在ZABC和ADEF中，ZA=ZFDE,AB二DE,ZCBA二ZE,•••△ABC幻△DEF(A£4).①添加条件：ZC=ZF.证明：TAD二BE,・・・AD+BD二BE+BD,即AB二DE.在ZiABC和ADEF中,ZA=ZFDE,ZC=ZF,AB二DE,「•△ABC竺△DEFC4AS)同步测试AFD1.如图，DABCD屮,E、F分别为BC、AD边上的点，要使BF=DE,需添加一个条件：・ecBE=DF（或BF//DE；AF=CE;ZBFD=ZBEDZAFB2.如图，在四边形ABCD中,已知AB与仞不平行，ZABD=ZACD,请你添加一个条件：,使得加上这个条件后能够推出且力〃=〃•ADOBC2.ZDAC=ZADB,ZBAD=ZCDA,ZDBC=ZACB,ZABC=ZDCB,OB=OC,OA=OD；(任选其一） 类型二：探究结论型探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论,解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。例2.如图，肘为线段肋的中点，处与加交于点GZDME=ZA=ZB=a,R曲交AC于F,ME交BC于G.(1)写111图中三对相似三角形，并证明其屮的一对；(2)连结几；，如果。=45°,AB=4近,亦=3,求阳的长.【答案】(1)证：△仰s△测EHFs以下证明△加沪s△滋#.•・・ZAEl/=ADME+AE=Z/J+AE=ABMG.AA=AB:.HAMFsHBG阴.(2)解：当a=45°时，可得ACVBCLAC=BC又VAMF^ABGM,.AF_BM'~AM~~BG・•・BG=_2V2x2V2_8-3~3•・•〃为的中点，:.AJf=BM=2^2又心心4屁。s45T,・・・CG=4—|冷,CF=4-3=1・・・fg=>Jcf2+cg2=Jl2+(^)2=|同步测试1.请写出一个比亦小的整数2.答案不唯一，小于或等于2的整数均可，如：2,1等3.已知，如图，BC是以线段为直径的00的切线，AC交00于点D,过点D作弦DE丄垂足为点F,连接3D、BE..(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①，②，③,①(不添加其它字母和辅助线，不必证明)； (2)ZA=30°,求（DO的半径几4.(1)BC丄AB,AD丄BDDF=FE,BD=BE,NBDF竺£BEF,△BDFs厶BAD,ZBDF=ZBEF,ZA=ZE,DE//BC等(1)解:vAB是OO的直径.ZADB=90°又•・・ZE=30°/.ZA=30°・•・BD=-AB=r2又・・・BC是OO的切线:.ZCBA=90°・・・ZC=60°在R1ABCD44,BD~DC—=tan60° 类型三：探究结论存在与否型探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在，然后以此为条件及现有的条件进行推理，然后得出问题的解或矛盾再加以说明。例3.如图，直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.⑴求NC,MC的长(用t的代数式表示)；⑵当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(1)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将AABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(2)探究：t为何值时，APMC为等腰三角形？解：(1)在直角梯形ABCD中，・.・Q5I丄AD,ZABC=90°,二四边形ABNQ是矩形。VQD=t,AD=3,ABN=AQ=3-t,ANC=BC-BN=4-(3-t)=t+l«VAB=3,BC=4,ZABC=90°,.・.AC二5。CMCN・・弋7丄AD,ZABC=90°,/.MN//AB,/.——=—,ACBC即空二凹，・・・MC二空・544(2)当QD二CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。.••当t=4-t,即t二2时，四边形PCDQ构成平行四边形。(1)VMN//AB,AAMNC-AABC,要使射线QN将AABC的面积平分，则△MNC与zMBC的面积比为1：2,即相似比为1：V2,=即口乜=亠，・・・t二BCV24V22a/2-1・・・・CN=2V2,MC=,・・・CN+MC二,T△223+4+59V2ABC的周长的一半二=6工出，•••不存在某一时22 刻，使射线QN恰好将AABC的面积和周长同时平分。(1)分3种情况：①如图,当PM=MC时,△PHC为等腰三角形。则P治NC,即3-t-t=t+l,2?.・・/=—,即『=—时，APMC为等腰三角形。33②如图，当CM二PC时，为等腰三角形。甘5/+5即=4一/,4:.t=—时，APMC为等腰三角形。9③如图,当PM二PC时,△PMC为等腰三角形。VPCM-t,NC二t+1,.PN=2t-3,又・.MN二AB二3NC~BC~4J3(r+l)・・・MM——-,4由勾股定理可得［3('+"片+(2t-3)2=(4-t)2,4BpfC103即当t二——时，APMC为等腰三角形。57同步测试2.如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、QC边上的点，且AE丄EF,延长EF交正方形外角平分线CP于点P,边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由・解法①・・・AE丄EF・・•Z2+Z3=90° •・•四边形力磁为正方形・•・ZB=ZC=90° ・•・Zl+Z3=90°Z1=Z2vADAM=AABE=90°,DA=ABAD•••△ZMMg/ABE1・•・DM=AE32•・•AE=EPBEc・•・DM=PE•・・四边形DMEP是平行四边形.解法②：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形证明：在4B边上取一点M,使AM=BE,连接ME、MD、DP.AD=BA,ADAM=AABE=90°:.RtADAM9RtAAB£/.DM=AE,Z1=Z4•・•Zl+Z5=90°・•・Z4+Z5=90°•・・AE丄DMADFPM-4j1BEC・・•AE丄EP・•・DM丄EP・・・四边形DMEP为平行四边形2.如图(1),抛物线y=x2-2x+k与x轴交于久〃两点，与y轴交于点C(0,-3).［图(2)、图(3)为解答备用图］(1)k=,点月的坐标为,点〃的坐标为:(2)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为必求四边形肋忆'的面积；(3)在对由下方的抛物线上是否存在一点〃，使四边形力宓的面积最大？若存在，请求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由；(4)在抛物线y=十一2兀+£上求点0使△必0是以％为直角边的直角三角形.图(1)图(2)图(3) 解：(1)k——3,A(-1,0),B(3,0).(2)如图(1),抛物线的顶点为於(1,-4),连结0”.33则△/0C的面积二一，△妆疋的面积二一，22△，眈莎的面积二6,・・・四边形初必的面积=tAOC的血积的血积+△•妙的血积二9.(3)如图(2),设D5m2-2m-3),连结则0＜加＜3,m2-2m-3＜0.33且△力OC的而积二一，的面积二一mf223的面积二-一(m2-2m-3),2・•・四边形肋〃C的面积二'AOC的面积+△必疋的面积+△〃必的面积329cm+—加+622存在点〃(才,-(4)有两种情况：如图(3),过点〃作滋丄吩U咬拗物线于点0、交y轴于理应°连接QC.•・•ZCBO=45°,:.乙EBO=45°,BO-0W ・・・点卍的坐标为(0,3).・•・直线处的解析式为》=-兀+3.y=—兀+3,y=x2-2x-3解得|—3,t>2二0・・••点©的坐标为(-2,5)・如图(4),过点C作/丄伪，交抛物线于点Q、交x轴于点尸，连接饱.•・・Z6776^45°,AZ67^45°,02003.・・・点尸的坐标为(-3,0).・・・直线彷的解析式为y=-x-3.・••点Q?的坐标为(1,-4).立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、4B之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系.MNMNMNMDCDCEzCcE1A4ABB“BBE、A备用图图2图1NB备用图综上，在抛物线上存在点Q(-2,5)、@(1,-4)，使△仇Q、△〃兌是以％为直角边的直角三角形.类型四：归纳探究型归纳探究型问题是指给定一些条件和结论，通过归纳、总结、概括，由特殊猜测一般的结论或规律，解决这类问题的一般方法是由特殊性得到的结论进行合理猜想，适量验证。例4.已知：如图所示，直线〃棚，ZMAB与ZWB4的平分线交于点C,过点C作一条直线/与两条直线M4、NB分别相交于点D、E.(1)如图1所示，当直线/与直线MA垂直时，猜想线段AD.BE、AB之间的数量关系，请直接写11!结论，不用证明；(2)如图2所示，当直线/与直线MA不垂直且交点£＞、E都在的同侧吋，(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由;(1)屮的结论是否仍然成(1)当直线Z与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时, 解：（1）AD+BE=AB（2）成立.（方法一）:在AB±截取AG=AD,连接CG・•/Zl=Z2,AC=AC/.AADC^AAGC・・・Z5=Z6•・•AM//BN・•・Zl+Z2+Z3+Z4=180°•/Zl=Z2,Z3=Z4・・・Z2+Z3=90°,ZACB=90°即Z6+Z7=90°•・•Z5+Z6+Z7+Z8=180°・•・Z5+Z8=90°・・・Z7=Z8vZ3=Z4,BC=BC••△BGCmbBEC・•・BG=BEAD+BE=AG+BGN:E:.AD+BE=AB（方法二）:过点C作直线FG丄AM,垂足为点F,MFDsC交BN于点、G.作CH丄AB,垂足为点H.由（1）得AF+BG=AB•:AM//BN,ZAFG=9Q°A1H:G'B题（2）万法二囹:.ZBGF=ZFGE=90°・••Zl=Z2,Z3=Z4 •••CF=CH,CH=CG:.CF=CG•••Z5=Z6••ACFD竺MGE•••DF=EG•••AD+BE=AF+BG=AB（方法三）:延长BC，交AM于点F.•••AM//BN:.Z5=Z4•••Z3=Z4•••Z5=Z3•••AF=AB•/Z1=Z2,AC=AC/.AAFCAABC•••CF=CB•••Z6二Z7./XFCD^/XBCE:.DF=BE:.AD+BE=AD+DF=AF=AB（3）不成立•（如图①），存在.当点D在射线AM±、点E在射线BN的反向延长线.AD—BE=AB当点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线B/V上时（如图②），题（3）图②BE-AD=ABMNDMFD〔CE[■CA•厂ABBE/题（2）方法三图题（3）图①e3 同步测试2.如图所示，在ZABC中，D、E分别是AB.AC上的点，DE〃BC,如图①，然后将AADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=-BD,2en='ce,得到图③，请解答下列问题：2(1)若AB=AC,请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是;②在图③屮，猜想AM与AN的数量关系、ZMAN与ZBAC的数量关系，并证明你的猜想；⑵若AB=k-AC(k>l),按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、ZM心与ZBAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.7.(1)①BD二CE； ②A1二AN,ZHAN二ZBAC理由如下：•••在图①中,DE//BC,AB=AC・•・AD二AE.AB=AC,在AABD与ZACE中｛ABAD=ZCAE,AAABD^AACE.ABDUCE,ZACE=ZABD.在ADAM与AD=AEAEAN中,VDM=-BD,EN二丄CE,BD二CE,.*.DM=EN,VZAEN=ZACE+ZCAE,ZADM=ZABD+ZBAD,22ZAEN=ZADM.又VAE=AD,AAADM^AAEN.AAM=AN,ZDAM=ZEAN.AZMAN=ZDAE=ZBAC.AAM=AN,ZMAN=ZBAC.(2)AM二kAN,ZMAN二ZBAC.随堂检测：1.请你写111一个图象在第一、三象限的反比例函数.答：.2.如图6,四边形昇妙是平行四边形，使它为矩形的条件可以是.a,并任选一个你喜欢的数Q代入求值.4.已知M=°°、兀-y兀2*2N二用“+”或“-”连接M、N,有三种不同的形式:Q->rM+N、M—N、N—M，请你任选其中一・种进行计算，并化简求值，其中x:〉，二5：2・5.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(L10), 3(10,1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.5.如图，在等腰梯形ABCD中，ZC二60°,AD〃BC,且AD二DC,E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE二CF,AF、BE交于点P.Ar)E(1)求证：AF=BE；(2)请你猜测ZBPF的度数，并证明你的结论.6.如图，二次函数的图象经过点D(0,?侖)，且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上9截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q,使AQAB与AABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.随堂检测答案: 1.y=—(答案不唯一)x2.答案不唯一，如A&BD,ZBAD=9©,等k亠a—1cr—2ci+1ci—1ci13.原式二——+二——•二——aaa(d-l)「°一1选择a除了0与1以外的数代入均可。4•选择一：M十N一2x2-y2x2(x+y)(x_y)x-y2xyx2+y2_(乂+)『T卞~?9J■■■■■■兀+y当尢：y二5：2时,55円「尹+)‘?253-y-y2”选择二：M-N2xy%2+y2_-(x-y)2_y~xT~~2~2rrrPx-yx-y(x+y)(x-y)x+yx=—y,原式253—■■—-—57去+y选择三：N-Mx24-y2~9兀—y2xy(x-y)2^2-y2(兀+y)(x-y)兀+y当兀：严5：2时,x=|y,52y~y3原式二=-5丄7注：只写一种即可.5.(1)设y=纟，・・・A(1,1O)在图象上，・・・10=£,即R=lxl0=10,X11GW10；其屮X(2)答案不唯一.女口：小明家离学校10km,每天以vkm/h的速度去上学，那么小明从家去学校所需的吋问r=—.V6.(1)VBA=AD,ZBAE=ZADF,AE二DF,.••ABAE^AADF,.BE=AF；(2)猜想ZBPF=120°.T由(1)知ABAE竺AADF,AZABE=ZDAF./•ZBPF=ZABE+ZBAP=ZBAE,而AD//BC,ZC=ZABC=60°, AZBPF=120°7•解：⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k,丁顶点C的横坐标为4,且过点(0,2^3)9Ay=a(x-4)2+k-73=16^+/:①9又•・•对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6,・・・A(1,0),B(7,0)・・・0=9a+k②，由①②解得a二邑k二一馆，.••二次函数的解析式为:y二匣99(x-4)2—73⑵•・•点A、B关于直线x二4对称，・・・PA二PB,・・・PA+PD二PB+PD2DB,二当点P在线段DB上时PA+PD収得最小值，・・・DB与对称轴的交点即为所求点P,设直线x=4与x轴交于点M,VPM.PMBM…~DO~~BO・••点P的坐标为(4,匣)3//0D,・•・ZBP帖ZBD0,又ZPBM二ZDB0,△BPMs△BD0,⑶由⑴知点C(4,-V3),又TAM二3,・•・在RtAAMC中，cotZACM二坐，二ZACM=60°,VAC=BC,3・•・ZACB=120°①当点Q在x轴上方时，过Q作QN丄x轴于N,如果AB=BQ,由厶ABC<-AABQ有BQ二6,ZABQ二12(T,则ZQBN=60AQN=3V3,BN=3,ON=10,此时点Q(10,3屈)，如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,②当点Q在x轴下方时，AQAB就是AACB,此时点Q的坐标是(4,-巧)，经检验，点(10,3為)与(-2,3侖)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使厶QAB-AABC,点Q的 坐标为(10,3^3)或(-2,3舲)或(4,-73).