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《MBA数学辅导：极限、连续、导数、积分的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、MBA数学辅导：极限、连续、导数、积分的概念极限的概念是整个微积分的基础，需要深刻地理解，由极限的概念才能引出连续、导数、积分等概念。极限的概念首先是从数列的极限引出的。对于任意小限接近。而函数的极限是指在X0的一个临域内(不包含X0这一点)，如果对于任意小的熬都存在正数Q，使所有(XO-Q,XO+Q)内的瓦都满足
2、F(X)-A
3、《E,爹求极限的题目都可以的正数E,如果存在自然数M,使所有N»M时，
4、A(N)-A
5、都小于E,则数列的极限为A。极限不是相奨怖是无=2不在函数定义域内，但F(X)=X-1,因此
6、在X无限接近2,限接近1,因此F(X)在2处的极如果函数在X0的极限存在，函数在X0则F(X)在X0点的极限为用极限的定义直接苗例如F(X)=(XT-3X+2)对于任何X不但不等隶限为lo连纟I,有定好而且极限值等于函数值，则称F(X)在X0点连续。以上的三个条件缺一不可。在上例中，F(X)在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2不连续；如果我们定义F(2)=l,补上"缺口〃，则函数在X=2变成连续的；如果我们定义F(2)=3,虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那么
7、函数在X=2还是不连续。都■勺变化率，直观地看是指切厂切线可以平行于Y轴，此1导数不存在，但切线存在。卜极限的求法。对于X=XO,在X0由连续又引出了左极限、右极限和左连续、右连续的概念。函数值等于左极限为左连续，函数值等于右极限为右连续。如果函数在X0点左右极限都等于函数值，则函数在x=xo时连续。这个定义是解决分段函数连续问题的最重要的、几予是唯丄的方法。如果函数在某个区间内每一点间的左右端点分别左右连续(对闭区赣细侧称函数在这个区间上连续。导数的概念。导数线的斜率。略，惑时斜率为茅拐你曾te导数不存
8、在，但切线存在。导数的徐加附号吏^4^X1,求X0与XI连线的斜率。当XI无限靠近X0,但不与X0重合时，这两点连线的斜率，就是F(X)在X=XO处的导数。关于导数的题0多数可用导数的定义直接解决。教科书中给出了所有基本函数的导数公式，如果自己能用导数的定义都推导一遍，理解和记忆会更深刻。其中对数的导数公式推导中用到了重要极限：limx~>0(l+x)A(l/x)=e0导数同样分为左导数和右导数。导数存在的条件是：F(X)在X=XO连续，左右导数存在且相等。这个定义是解决分段函数可导问题的最重要的、几乎是
9、唯一的方法。n如果函数在某个区间内每一点都可导，在区间的左右端点分别左右导数存在(对闭区间而言)，则称函数在这个区间上可导。变量X,的微小变化的变化又引起集合C賊够於^f(u)的变化，则r[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du*▼du,u复合函数的导函du/dx=f(u)*uz(x)导数在生活中的例子最复合函数的导数，例如f[u(x)],是集合A产生微小变化dx,引起集合B虫的是距离与时间的关系。物体在极其微小《1时间内，移动了极其微小的距离,二者的比值就是物体在这一刻的速度。对于自由落体运动
10、，下O&s=WA2,则物体在时间to的速度为V(tO)=[S(tO+a)-S(tO)]/a,当a趋近于0时的值，等于gtO;而速度随时间的增加而增加，变化的比率g称为加速度。加速度是距离对时间的二阶导数。从直观上看，可导意味着光滑的、没有尖角，因为在尖角处左右导数不相等。有笑话说一位教授对学生抱怨道："这饭馆让人怎么吃饭?你看这碗口，处处不可导!"积分的概念。从面积上理解，积分就是积少成多，扌巴无限个面积趋近于0的线条，累积在一起，就成为大于0的面积。我们可以把一块图形分割为狭长的长方形(长方形的高度都取
11、函数在左端或右端的函藜值)，分别计算各个长方形的面积再加总，可近似地鯉冒形的面积。当我们把长方形的宽度设定得越来癡:计算结果就越来越精确，与图形实际面积的差距越来越小。如果函数的积分存在，则长方形宽度趋近于0时，求出的长方形面积总理扇域谕在，且等于图形的实际面积。这里渺Q极限的概念。如果函数存在不连续的禺'囲该点左右极限都存在,函数仍是可咂眉蚤瀚点的个数是有限的，则它们代表的线条面积总和为0,不影响计算结呆。在广义囲级、侖函数在无限区间内积分，或某些点的函数矗沟无穷大，只要积分的极限存在，函数都是可积的。
12、严格地说，我们只会计算长方形的面积。从我们介绍的积分的求法看，我们实际上是把求面积化为了数列求和的问题，即求数列的前N项和S(N),在N趋近于无穷大时的极限。很多时候，求积分和求无限数列的和是可以相互转换的。当我们深刻地理解了积分的定义和熟练地掌握了积分公式之后，我们同样可用它来解决相当棘手的数列求和问题。例如：求LIMNa正无穷大时，l/N*[l+l/(l+VN)+V(l+yN)+ooo+V(1+(N-1)/N)+V2]的值
