极限、连续与导数讲义

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1、极限、连续与导数极限、连续与导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具．也是高考中考察综合能力的一个方向．学好这三个问题的关键就在于理解极限、连续与导数的概念．只有深刻理解概念，才能在此基础上解决有关问题．首先介绍1．不定型极限的常见类型及求法在高考中所考查的函数极限常常表现为不定型．处理这类极限的宗旨是“先变形(化简)，再求极限”．我们通过下面几道题来总结一下求不定型极限的方法．例1的值等于___________．思路启迪由于将x→-1代入分母，可得分母极限为0，所以此题不能用直接入法．根据观察，可以将分子分母

2、分解因式，都可以分解出极限为0的x+1，约去公因式即可求极限了．此方法称为约去零因子法．练习：求．约去零因子法是求型极限的基本方法，但在高考中，这类题目往往是选择填空题，不需要过程，另外，有些题目的零因子也不易分解出来，例如．下面介绍求不定型极限的利器──洛比达法则：．回头再看例1．洛比达法则不仅适用于可分解零因子的型极限，也适用于几乎所有的不定型极限．如．．例2=___________．思路启迪因为，，所以不能直接用求函数极限差的运算法则，可将函数通分变形后再求极限．此方法称为通分法．9练习：求．例3求(有理化法)．思路启迪求

3、函数极限时，若碰到分子，分母中有根号的情形，经常会把分子或分母有理化，使原极限可求．当然本题利用洛比达法则更为简捷．例4求(变量替换法)．思路启迪分子，分母中分别有，直接求极限不好求，可以采用变量替换的方法，令t=．本题也可利用洛比达法则．洛比达法则也可用于型极限，这主要是数列极限．练习1：(07上海春招)．计算=___________．练习2：(四川成都二诊)已知=2，则实数m的值为_________．2．极限、连续与导数的关系由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知

4、道导数是一种特殊类型的极限，即函数f(x)在点x0处的函数的增量f(x0+Dx)-f(x0)与相应的自变量的增量(x0+Dx)-x0=Dx(Dx≠0)的比值当自变量的增量Dx→0时的极限值．函数f(x)在点x0处有极限、连续、以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在Þ连续Þ有极限．反之则不一定成立．例如y=在点x=0处有极限但不连续．例如y=

5、x

6、在点x=0处有极限且连续，但导数不存在．函数f(x)在点x0处有极限的充要条件是左极限和右极限存在且相等．即(A是常数)．9函数f(x)在点x0处连续的充要条件是极限等于函数值．即．函

7、数f(x)在点x0处导数存在的充要条件是左导数和右导数存在且相等．例5若函数f(x)=在x=2处连续，则a=___________，b=___________．例6设f(x)=为了使函数f(x)于点x=x0处连续而且可导，应当如何选取系数a和b？这里f(x)是一个分段函数，点x0是f(x)的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系．思路启迪由于x=x0是分段函数f(x)的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：(1)f(x0-0)=f(x0)=f(x0+0)

8、；(2)f′(x0-0)=f′(x0+0)．[注：一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成．①若函数在各段开区间为可导，应分别求出它在各区间内的导数．②判断分段点处的可导性．(Ⅰ)若函数在点x0不连续，则它在点x0不可导．(Ⅱ)若函数在点x0连续，按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数．当左、右导数存在并且相等时，则函数在点x0可导；当左、右导数存在，但不相等；或其中至少有一个导数不存在，则在点x0就不可导]．例7．观察(xn)′=nxn-1，(sinx)′=cosx，(cosx)′=-sinx，是否可判断：(

9、1)可导的奇函数的导函数是偶函数；(2)可导的偶函数的导函数是奇函数．利用导数的定义证明：(1)若f(x)是奇函数，则f′(x)=，f′(-x)===f′(x)．∴可导的奇函数的导函数是偶函数．可以仿此类似证明(2)．这里用到一个性质：f′(x)=．9也可利用复合函数的求导方法要证明一个函数是奇数，需证明"xÎR，有f(-x)=-f(x)，而要证明一个函数是偶函数，需证明f(-x)=f(x)．设f(x)为偶函数，则对"xÎR有f(-x)=f(x)，两端求导即：-f′(-x)=f′(x)，即f′(-x)=-f′(x)，故f′(x)

10、是奇函数．同理可证：可导的奇函数的导函数为偶函数．这个事实说明：凡对称于Oy轴的图形，其对称点的切线也关于Oy轴对称；凡关于原点对称的图形，其对称点的切线相互平行．可以看出，反函数x=lny对y的导数，等于直接函数y=ex对于x的导数的倒数；反之亦然．一般地，我