数学竞赛教案讲义极限与导数.pdf

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1、第十四章极限与导数一、基础知识1．极限定义：（1）若数列{u}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈Nn时，恒有

2、u-A

3、<ε成立（A为常数），则称A为数列u当n趋向于无穷大时的极限，记为nnlimf(x),limf(x)，另外limf(x)=A表示x大于x且趋向于x时f(x)极限为A，称右00xxxx0极限。类似地limf(x)表示x小于x且趋向于x时f(x)的左极限。00xx02极限的四则运算：如果limf(x)=a,limg(x)=b，那么lim[f(x)±g(x)]=a±xxxxxx000f(x)ab,

4、lim[f(x)•g(x)]=ab,lim(b0).g(x)bxxxx003.连续：如果函数f(x)在x=x处有定义，且limf(x)存在，并且limf(x)=f(x)，则称f(x)00xxxx00在x=x处连续。04．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x处取得一个增量Δx时（Δx充分0y小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x+Δx)-f(x)).若lim存在，则称f(x)在x00x0x0dy处可导，

5、此极限值称为f(x)在点x处的导数（或变化率），记作f'(x)或y'xx或，000dxx0f(x)f(x)即f'(x)lim0。由定义知f(x)在点x连续是f(x)在x可导的必要条件。0xx00xx00若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x处导数f'(x)等于曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处切线的斜率。00006．几个常用函数的导数：（1）(c)'=0（c为常数）；（2）(x)'axa1（a为任意常数）；（3）a(sinx)'cosx;(4)(cosx)'sinx;

6、(5)(ax)'axlna;(6)(ex)'ex;（7）11(logx)'logx；（8）(lnx)'.axax7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则（1）[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)；（2）[u(x)v(x)]'u'(x)v(x)u(x)v'(x)；（3）1u'(x)u(x)u(x)v'(x)u'(x)v(x)[cu(x)]'cu'(x)（c为常数）；（4）[]'；（5）[]'。u(x)u2(x)u(x)u2(x)8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(

7、x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且（f[(x)])'=f'[(x)]'(x).9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有f'(x)0，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有f'(x)0，则f(x)在(a,b)单调递减。10．极值的必要条件：若函数f(x)在x处可导，且在x处取得极值，则f'(x)0.00011.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x邻域(x-δ,x+δ)内可导

8、，（1）若当000x∈(x-δ,x)时f'(x)0，当x∈(x,x+δ)时f'(x)0，则f(x)在x处取得极小值；（2）0000若当x∈(x-δ，x)时f'(x)0，当x∈(x,x+δ)时f'(x)0，则f(x)在x处取得极大00000值。12．极值的第二充分条件：设f(x)在x的某领域(x-δ,x+δ)内一阶可导，在x=x处二阶0000可导，且f'(x)0,f''(x)0。（1）若f''(x)0，则f(x)在x处取得极小值；（2）0000若f''(x)0，则f(x)在x处取得极大值。0013．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]

9、上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使f'()0.[证明]若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，f'(x)0.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故f'(c)0，综上得证。14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使f(b)f(a)f'(

10、).baf(b)f(a)[证明]令F(x)=f(x)-(xa),则F(x)在[a,b]