资源描述：
《极限导数积分计算.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一.函数的极限的计算1)初等函数在定义区间内处处连续:若存在,则有.2)变量代换:设(),若,则有3)的充要条件为:.4)的充要条件为:.5)极限的四则运算.6)“”,“”型洛必达法则.例1.设,则为().A.有界函数;B.偶函数;C.;D..解题提示:1)为奇函数.2)时,,.3).例2.下列各式中不正确的是（）.A.;B.;C.;D..例3.求.解题提示:计算左右极限.洛必达法则是计算极限的有效方法.例4.计算下列极限:1);2);3);4);5).解题提示:5)令;或.例5.若,计算.解题提示:.极限计算中无穷小的处理:在乘除运算中,极限值不为0的因子先算出,“
2、0因子”作等价无穷小代换,“0根式”有理化.例1.计算.解:(代入,此式为“”型)(“0根式”有理化)(乘除运算中“非0因子”先算出,“0因子”作等价无穷小代换)(洛必达法则)(洛必达法则)(初等函数在定义区间内处处连续.)例2.计算下列极限:1);2);3).例3.计算.解题提示:令,.例4.已知,求.解题提示:利用等价无穷小代换计算左式.极限计算中无穷大的处理:“根式”有理化.“三角无穷大”的导数仍然为无穷大,“三角无穷大”要先变.求时的极限,分子,分母同时除以分子,分母中的最高次幂(“抓大头”方法中的“大头”).所谓“抓大头”就是抓住关于的最高次的项,而把其余的
3、项略掉.如.例5.计算下列极限:1);2);3);4).在计算极限时,洛必达法则不要“滥用”.例1.计算.解题提示:用洛必达法则,观察会出现怎样的情形.例2.().A.B.不存在C.D.解题提示:1)分析以下错误运算:.2)分析以下错误运算:.例3.求.解题提示:1)先多次用洛必达法则,观察会出现怎样的情形.2)(为正数),当时,可认为为的无穷大次幂,为的0次幂.3)分子,分母同时除以分子,分母中的最高次幂,即用“抓大头”方法.例4.求.解题提示:1)试用洛必达法则看看.2)令.(“”型)极限计算法:.其中的“”型,也可用配法:设,,则.例5.计算下列极限:1);2)
4、;3).利用导数定义式计算极限例6.设在处可导,且,求.解题提示:利用配法,计算.例1.设在点处有二阶导数,求极限.解题提示:先用一次洛必达法则.注意:因二阶导数在点处连续性不知,不可再次用洛必达法则.解:.利用中值定理计算极限例2.计算下列极限:1);2).解题提示:1)对函数在上用拉格朗日中值定理,.2)利用积分中值定理,.利用麦克劳林公式计算极限例3.计算下列极限:1);2).解:1),,,,.2),.二.导数与微分的计算1)四则运算求导公式.2)复合函数求导公式:.3)微分计算公式:.注意:微分等式中变量可用任意可导函数作代换.4)参数方程求导公式:,.5)隐
5、函数求导法:方程两边同时对求导,注意中为中间变量.6)幂指函数求导公式:.7)取对数求导法:设,则有8)设为连续函数,则有.9)设为连续函数,可导,则有变限积分函数求导公式例1.设则_____.例2.设可导，，则_____.例3.设，当时，_____.解题提示:自变量的微分等于自变量的增量,即.例4.设，求.例5.设为连续函数,且,则_____.例6.求,其中为已知的连续函数.解题提示:.例7.求,其中为已知的连续函数.解题提示:令,.例8.设,则_____.解题提示:.例9.若,在内,则在内().(A);(B);(C);(D).解题提示:为偶函数.试证明:1)可导偶
6、函数的导数为奇函数;2)可导奇函数的导数为偶函数.例1.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,求.例2.设,求.解题提示:.例3.设其中具有二阶导数,且,求.高阶导数与泰勒公式1)莱布尼兹公式:.2)函数在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式:其中,,即介于与之间.当时,称麦克劳林公式.3)函数在点处带皮亚诺型余项的阶泰勒展开式:例4.求下列函数的阶导数:1);2);3);4).5).解:4),.例5.求函数在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.例6.求函数在点处带皮亚诺型余项的5阶泰勒展开式.例7.设,则_____.解题提示:,.例8.求函数在处的阶导数.解题提示:
7、1)利用莱布尼兹公式.2)利用及麦克劳林公式.解:,,.例1.设,求.解题提示:.例2.设,求.解题提示:建立递推公式.三.不定积分的计算:1.常用公式:;;;;;;;.2.分项法:通过代数或三角恒等变形把所给不定积分化为基本积分公式中的积分或常见的积分类型.例1.计算下列不定积分:1);2);3).3.第一换元法(凑微分法):设为的原函数,可导,则有[凑微分:].[换元:中换为]如何确定中间变量?A)从被积函数明显的复合部分去确定.B)通过凑微分确定.C)从被积函数中复杂的部分去确定.例2.计算下列不定积分:1);2);3);4);5);6);7)
