《高等数学期末复习》杭州电子科技大学高等数学期末试卷及答案

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1、1.2.3.曲面z=x2+/-l在点（2丄4）处的切平面方程是:(C)杭州电子科技大学信息工程学院学生考试卷（期末〉A卷课程名称高等数学甲（下）考试日期10年6月23日时间共120分钟考生姓名任课教师姓名学号班级专业题号.—.、—•、四五、六、七总分得分一、填空题（每小题3分，共计15分）点（4,-3,5）到坐标轴x的距离为炉.曲线2x24-/-2x-8=0.z=03.函数z=sin(xy)的全微分〃z=cos(xy)(ydx+xdy).学空14.写出一个简单的条件收敛的级数:工（一1）心一.5.设/（兀）是周期为2龙的周期函数，它在［一龙，

2、龙）上的表达式为/（x）=X.则它的傅里叶级数在点X=37T处收敛于__0—・二、单项选择题（每小题3分，共计15分）dz1.设z=arctan（xy）,则三一=dx(A)「2_y_]_z_442-1(C)4(兀一2)+2(y—1)—(z—4)二0；(D)4(x-2)+2(y-1)+(z-4)=0.4.设曲面Z:x2+y2+z2=/?2侧对面积的曲面积分(A)0(B)7rR2(C)2ttR2直ds等于(D)4兀R?+°°jr5.级数工2〃sin亍H=13（A）收敛；（B）发散；（C）敛散性不能确定；（D）不是正项级数三、试解下列各题（每小题6

3、分，共计12分）1.一平面过点（1,0,-1）且平行于向量0=（2,1,1）和5=（1,-1,0），试求这平面的方程.—>解：这平面的法向n=2Jk11=(1丄_3)1-10这平面的方程x+y—3z=4(4分)(6分)八沁fl22亠.°厂2.以r=Qx+y+z，求三一，三~^.dxdxoyyy(A)叫®(B)TW(C)右◎乔百解:乎dx2.设z=兀彳一>'+3兀2+3）广一9兀，则点（1,0）（A）是z的极大值点（C）不是z的极值点（B）是z的极小值点（D）是否为z的极值点不能确定32r_v2+z2丽=厂3(3分)(6分)四、试解下列各题（每

4、小题6分，共计36分）1.设z=z（x,y）由方程一=ln—确定，求7^—、—~-zvoxdy4.求幕级数YnXn~[的收敛半径、收敛域及其和函数.n=解：收敛半径R=X解：令F（x,y,z）=——Inz+Inyz（x+z）ydzFvz2dyFz（x+z）y（1分）（4分）（5分）（6分）收敛域（-U）88n=ln=l2.求曲线x=丄，v=上,z=尸在对应于t=1的点处的切线方程与法平面方程.1+/t1（1一兀）2“（一1,1）l皿，其中厶为由直线y=兀及抛物线y=/所围成的区域的整个边界.解:曲线上对应于t（）=1的点为（（-,2,1）

5、此点处的切向量〒=（—亠,2/）（1+0r『（亍72）屮宀8）1Xr[所以，此点处的切线方程一^2--—-48此点处的法平面方程2x-8y+16z=l3.画出积分区域D并计算二重积分：/=jjx^ydaD其中D是由两条平面曲线y=655（图1分）（1分）（4分）（5分）（6分）（4分）（5分）（6分）解:xds=Ixds+LJy=x=£Xyfldx+£xVl+4x2dx-近」】+J_（l+4兀2）20126.计算对坐标的曲线积分£（%2-y}dx-（x4-siny）dy,其中厶是在圆周y=l2x-x2上由点（0,0）到点（1J）的一段弧.

6、解:令P=x2-y,Q=-x-siny,故积分与路径无关，所以选折线段从（04）沿y=0到（1,0）,再沿兀=1到终点（1,1）£（x2-y）心一（无+siny）^=£x26/x+£（-l-siny）dy=cos1--3五、试解下列各题（本题8分）在平面双巧上求一点,使它到x=O,y=0及x+2y—16=0三直线的距离平方之和为最小.解:设所求点为（x,刃，则目标函数z=x2+y2+^X+2y一"）az-axaz-aA"由=2x+—(2x+y-16)=04=2y+—(2x+y-16)=08x=—1是唯一的驻点,16oiz:根据问题的性质可知，

7、到三直线的距离平方之和最小的点一定存在，故（一,一）即为所求8分.七.证明题（本题5分）1证明级数工一发散.+81证明:反证.设工一收敛于S,设级数的部分和数列为{$“}1分那么，»—>S,$2“TS（/?T+oo）,从而2分S“-SnT0（力T+8）3分z1111z.但*“一S=++•••+——>—4分"“h+1n+22n2故$2“一为90（农T+8）5分1与假设收敛矛盾,这说明级数工一发散六.二题中选一题做（本题9分）1.计算/=jjjzdxdydz,其中Q:z=+与z=/?(/?>0,/?>0)所围成的闭区域.QR2•计算对坐标的曲面积

8、分/=jjzdxdy,其中Z是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧.z2解I=jjzclxdy=-jj_JR2Ex2+y2<^R2-x^-y^dxdy=fnd