多元函数的微分学(第九讲)

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1、第九讲多元函数的微分主要知识点1.主要概念(以二元函数为主)(1)函数的极限与连续定义极限定义(E-S定义)lim/(x,y)=A：如果对于任意给定£〉0,总存在/>0,使得XT%y->>o对于适合不等式0<

2、ppo

3、=J(X-Xo)2+(y-)b)2>o则称函数/(x,y)在点p()Oo，y())处连续.注意：二元函数与一元函数的差异.(2)偏导数的定义设函数z=/(x,y)在点p(x,y)的某

4、邻域内有定义，函数的偏导数为dz=/(兀+心,刃一/(圮刃力二〔血/(兀,『+△『)—/(兀)0dxatoAxdyA>^°注意：分段函数在分段点的偏导数用偏导数定义计算.(3)全微分定义设函数z=/(x,y)在点p(x,y)的某邻域内有定义，若Az二应匕+BAy+o(p),其中p=J（AxF+（△『）?全微分dz=AA.V4-By=^-dx+^-dy.oxdy•2.主要理论(1)定理1(求偏导数与次序无关的定理)若函数z=/•(%,y)的两个混合偏导数貨，二2在区域D内连续，则二7=共dxdydydxdxdyoyox(2)定理2(可微与偏导数存在关系定理)dzdz若函数z=

5、f(x,y)在点p{x.y)可微，则在该点处亍，亍存在，且oxdydzdz,dzf—dx+—dy・oxdy(2)定理3(偏导连续与可微的关系定理)若函数z二f(x,y)偏导数半,半在点p(x,y)的某邻域内存在且连续，则/(x,>?)在点oxdyp(x,y)可微.1.主要公式(1)全导数公式设函数Z=f(u,v)偏导数连续，而比=0⑴,V=屮⑴导数连续,则Z=/⑷⑴,妙⑴］的全导公式为竺二亜色+亜冬.dtdudt3vdt(2)显函数u=/(x,y,z)的偏导数a”求U对X的偏导数络时，将视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之•OX求比对y的偏导数尖时，将无,z视作常数，利用

6、一元函数求导公式及法则求Z.dy求况对Z的偏导数尖时，将视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之.dz(3)复合函数的偏导数1)设么=/(w,v),w=(p(x,y),v=y/(x,y)的偏导数连续,则z=f[(p(x,y)]偏导数为dzdzdudx3v=1,dxdudxdvdxdzdzdudzdvII•I•IIdydudy3vdy2)设乙=f(x,y,u,v),u=(p(x.y).v=y/(x,y)的偏导数连续,则函数z=f[x,y,(p{x,y),0(x,y)]的偏导数为dz_dfdfdudfdvdz_dfdfdudfdvII9IIdxdxdudxdvdxdydydudy

7、dvdy注意：1)偏导函数毕，尖的复合关系同原函数一样，求二阶偏导数方法同一阶方法类似.oxuy2)抽象函数的二阶偏导数的求法及其重要.(2)隐函数的偏导数1)由方程F(x,y)=0确定的隐函数y=y(x)的导数公式为dy二F：(无,刃dxF：(x,y)(竹(兀,刃工0).2)由方程F(x,y,z)=0确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数公式为dz_F：(兀,y)dz_Py(兀,y)dxF©,y)'dyF；(x,y)2)由三个变量两个方程所构成的方程组(F(x,y,z)=0[G(x9y,z)=0确定的隐函数y=j(x),z=z(x),求导数生，生可通过解关于生的线性方程组来完

8、dxaxdxdx成，即解方程组^rv-.GV--<13)由四个变量两个方程所构成的方程组jF(x,y,y)=0w)=o'确定的隐函数u=u(x,y),V=v(x,y)»求偏导数-T-5»T-»可通过解关J*dxdydxdydxdx(単，些)的线性方程组来完成，即解方程组ayay---7_一av-axav-ax/»VFvG++也ax普、丿//yT-G--3V一勿av环尺G:++加一^加37尺G:厂IL1.主要计算方法(1)显函数求偏导数的方法(包含二阶偏导数，抽彖函数)；(2)隐函数求偏导数的方法(包含二阶偏导数，抽象函数，方程组);二、例题分析1.二元函数极限、连续、偏导数与

9、全微分之间的联系X丁，兀2+y2H0例1.设/(3)={(无2+于卡，证明函数/(x,y)在点(0,0)连续且偏导数存0,%2+/=0在，但不可微分.□cos&r4sin26^cos26==limy=rsin0r—>0厂证明：(1)证明连续性22因为lim/(X,y)=lim————-(xj)t(0,0)(儿y)T(o,O)2(F+b)2=limr2sin2^cos2^=0=/(0,0).所以/(x,y)在点(0,0)连续.r->0(2)证明偏导数存在.因为总0,0)他/(0+心,())-/(0,0)A