应用导数研究函数2

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1、运用导数研究函数2四、求最值1.（2009江苏卷）（本小题满分16分）设Q为实数，函数/（x）=2x2+（X-€Z）IX-6Z

2、.⑴若/（0）＞1,求Q的取值范围;（2）求f（X）的最小值;（3）设函数A（x）=f（xxe（a,4w）,直接写出（不需给出演算步骤）不等式力（兀）＞1的解集.【解析】木小题主要考杳函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考杏灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分(i)若/(o)n1,则-a

3、«

4、>1=>a<0a^>ra-~l(2)

5、当x>a时，/(x)=3x2-2ax+a2,f(x=JvA/min当x0/(扣<02a2,a>02«2_<03-2a1.a>02a29a<0(3)xe(6Z,+oo)时，h(x)>1n^x2-2ax+a2->0,A=4t/2-12(tz2-1)=12-86?当心-半或沦半时，当一齐＜¥时,A＞0,W-：（"a—l3—2a2a+j3-2cT)(x)>033x>a/I/z讨论得：当QW（——,一）时，解集为（Q,+

6、oo）；当空（—f芈）时，解集为（°,—J严22["+£_2/,+8）；当]llt,解集为[Q+J3—2"严)32.（2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数f（x）=x3--x2+6x-a.(1)对于任意实数兀,恒成立，求加的最大值;(2)若方程/(%)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围.解：(1)f(X)=3x2-9x+6=3(x-l)(x-2),因为xg(-00,4-00),/(x)>m,即3/-9兀+(6-加)X0恒成立，33所以4=81—12(6—加)50,得加5——,即加的最大值为—一44(2)因为

7、当兀vl时,/(%)>0;当12时,f(X)>0；所以当兀=1时,/(兀)取极大值/(1)=j-t/;当兀=2时,/(兀)取极小值/(2)=2-a;故当/(2)>0或/(1)<0时，方程/(x)=0仅有一个实根.解得。<2或3.(本小题12分)(理)已知函数f(x)=(l+ex)-tx.(I)求/(兀)的单调区间；(II)当Ov/vl时,记/(%"(“，求必)的最大值.解：(理)(I)fx)=—-一1+『1+护当/50时,广⑴〉o,・・・/(x)的递增区间为R.当0

8、厂(兀)>0得兀>In—递增区间为(In—,+oo)1-rl-t令广⑴<0得x1时，广⑴<0,・・・/(兀)的递减区间为/?6分(II)当虫(0,1)时，由(I)的讨论可知池)=/(1门丄)=ln(l+丄)—小(丄)l-t1-rl-t即(p(t)=In———t[t-ln(l-t)]=-tlnr+(r-l)ln(l-1)/.(p(t)=(r-l)ln(l-t)-tt(O

9、=0得/=—-tt2当00,.・・0(/)在(0丄)上递增，当丄cV1时,0(/)<0,.・・0⑴在(舟,1)上递减222212分・•・©("max=0(£)=-

10、ln

11、-

12、ln

13、=ln2-•4(2008浙江理)己知d是实数，函数f(x)=fx(x-a)«(I)求函数/(劝的单调区间;(II)设g(a)为/(%)在区间［0,2］上的最小值。(i)写出g(a)的表达式;(ii)求d的取值范围，使得一65g(d)W-2。本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以

14、及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.满分15分.(I)解：函数的定义域为［0,+oo),fx)-y[x+*,=3兀；(X>0)・2y/x2]x若aWO,则广(x)>0,/(兀)有单调递增区间[0,+oo)・若。>0,令广⑴=0,得当0-时，fx)>0.■1//(兀)有单调递减区间0,-,单调递增区间

15、-,+00・/、所以g(a)=f彳Id丿(1【)解：⑴若qWO,/(兀)在［0,2］±单调递增,所以g⑷=/(0)=0.若0vav6,/(兀)在上单调递减，在/n纟,2上单

16、调递增,_3.<3.若/(兀)在［0,2］上单调递减,所以g⑷=/(2)=V2(2-a).0,aW0，综上所述,g(d)=卡'°Vd<6,近(2-a),a三6.(ii)令-6Wg(d)W-2・若dWO,无解.若0vav6,解得3Wav6.若a26,解得6WaW2+3血.故。的取值范围为3WdW2+3血.5.(2009湖北卷文)(本小题满分14分