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1、运用导数研究函数2四、求最值1.（2009江苏卷）(本小题满分16分)设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分（1）若，则（2）当时，当时，综上（3）时，得，当时，；当时，△>0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.2.（2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数．（1）对于任意实数，
2、恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．解：(1),因为,,即恒成立,所以,得，即的最大值为(2)因为当时,;当时,;当时,;所以当时,取极大值;当时,取极小值;故当或时,方程仅有一个实根.解得或.3.（本小题12分）（理）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，记，求的最大值.解：（理）（Ⅰ）当时，，∴.当……………6分（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）的讨论可知即∴,∴………………12分4（2008浙江理）已知是实数，函数。（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值。（i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使
3、得。本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．（Ⅰ）解：函数的定义域为，（）．若，则，有单调递增区间．若，令，得，当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，所以．综上所述，（ii）令．若，无解．若，解得．若，解得．故的取值范围为．5.（2009湖北卷文）（本小题满分14分）已知关于x的函数f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x
4、)＝∣f'(x)∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）（I）解：，由在处有极值可得解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（Ⅱ）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上
5、的最值在两端点处取得,故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m将上述两式相加得：，导致矛盾，（Ⅲ）解法1：（1）当时，由（Ⅱ）可知；（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，此时由有①若则，于是②若，则于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法2：（1）当时，由（Ⅱ）可知；（2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时，即下同解法1五．证明不等式.通过构造函数，以导数为工具，证
6、明不等式，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征恒成立恒成立；1．当时,证明不等式成立.证明:设,则,令,因为,当时,,所以在上为增函数,而,所以,所以在上恒为正,
7、即在上恒为正.所以在上为增函数,且.所以.即时,成立.【点评】利用单调性证明不等式的常用思路是先构造函数,再借助导数确定单调性.一般地,证明,可以构造函数如果则在上是增函数,同时若由增函数的定义可知,时,有.即证明了2．（2007安徽理）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.（Ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小
8、值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．3（2008年，山东卷）已知函数为常数.（Ⅰ）当n=2时，求函数的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对
