导数研究函数的应用

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1、导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数教学目标：1.了解可导函数的单调性与其导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.教学重点：利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.教学难点：利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.教学过程：一、创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的

2、性质,从中体会导数在研究函数中的作用.二、新课讲授1.问题如右图(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,右图(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.13/13如

3、右图,导数表示函数在点处的切线的斜率.在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.结论:函数的单调性与导数的关系在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.说明:在某区间内为常数,当且仅当在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与轴平行).3.求解函数单调区间的步骤(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间.

4、三、典例分析例1已知导函数的下列信息:当时,;当或时,;当或时,.试画出函数图像的大致形状.解:当时,,可知在此区间内单调递增;当或时,,可知在此区间内单调递减;当或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.综上,函数图像的大致形状如上图所示.例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间.(1)(2)(3)(4)解:(1)因为,所以因此在上单调递增,如下图左所示.13/13(2)因为,所以当即时,函数单调递增;当即时,函数单调递减;函数的图象如上图右所示.(3)因为,所以因此,函数在单调递减,如下图左所示.(4)因为,所以.当即

5、时,函数;当即时,函数;函数的图象如下图右所示.注:(3)、(4)生练.例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像.分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解:思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的,如果一个函数在

6、某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.例4求证:函数在区间内是减函数.证明:因为当即时,13/13所以函数在区间内是减函数.说明:证明可导函数在内的单调性步骤:(1)求导函数;(2)判断在内的符号;(3)做出结论:为增函数,为减函数.例5已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.解:因为在区间上是增函数所以对恒成立即对恒成立解之得所以实数的取值范围为.说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数

7、单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.类型题1:设函数,其中,求的取值范围,使函数在上是单调函数.解:,其中当时,要使函数在上是单调函数则必然要求,由此可知.类型题2:函数在上单调递增,求实数的取值范围.例6已知函数,试讨论出此函数的单调区间.解:令,解得或∴的单调增区间是和令解得或∴的单调减区间是和例7当时,证明不等式成立.13/13证明:作函数,当时,知单调递减,当时,知在时,;作,当时,知单调递减,当时,知在时,.综上类型题1:对于任意的实数,证明:.类型题2:当时,证明不等式.

8、四、课堂练习1.求下列函数的单调区间(1)(2)(3),(4)2.课本练习五、回顾总结1.函数的单调性与导数的关系2.求解函数单调区间3.证明可导函数在内的单调性六、布置作业§3.3.2函数的极值与导数（2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念;2.能够运