2-11导数在函数研究中的应用

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1、[最新考纲展示]1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．第十一节　导数在函数研究中的应用利用导数研究函数的单调性1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求；(2)在定义域内解不等式；(3)根据结果确定f(

2、x)的单调区间．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)f′(x)>0或f′(x)<0____________________[通关方略]____________________1．求函数f(x)的单调区间，也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集，但单调区间不能脱离定义域而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．2．由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．1.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则

3、f(x)的图象可能是()解析：由图象知，当x<0时，导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，因此在此区间内函数f(x)单调递增．选D.答案：D2．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得，f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)<0，即3(x－11)(x＋1)<0，求得－1

4、研究函数的极值1．函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)<0f′(x)>0f′(x)>0f′(x)<0________

5、____________[通关方略]____________________f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝

6、x

7、，x＝0是它的极小值点，但f′(0)不存在．3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3处有极值．∴f′(－3)＝0.3×9－6a＋3＝0.∴a＝5.答案：D4．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a

8、的取值范围为________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)>0，即a2－a－2>0，解得a>2或a<－1.答案：a>2或a<－15．函数f(x)＝x3＋ax(x∈R)在x＝1处有极值，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是________．解析：因为函数f(x)＝x3＋ax(x∈R)在x＝1处有极值，所以f′(1)＝3×12＋a＝0，得a＝－3.故所求切线的斜率为k＝a＝－3，因此切线方程为y＝－3x.答案：y＝－3x利用导数研究函数的单调性【例1】(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)

9、已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．[解析](1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.反思总结1．当f(x)不含参数时，可以通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间．2．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1