3-3导数的实际应用

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1、3-3导数的实际应用建立数学模型找岀已知、未知写出函数解析式优化问题利用导数］求解答案【知识梳理】—、函数的最值与导数1.函数/(X)在［d,方］上有最值的条件：一般地，如果在区间［。，切上，函数y=f(x)的图象是一条①不断的曲线，那么它必有最人值和最小值.2.求函数丿=/(x)在0,“上的最大值与最小值的步骤为：⑴求函数y=f(x)在(Q，〃)内的②•⑵将函数y=f(x)的各极值少③的函数值閒丿⑺)比较，其屮最大的一个是最人值，最小的一个是最小值•二.利用导数研究生活中的优化问题1.牛活屮常遇到

2、求利润最大，用料最省、效率最高等_•些实际问题，这些问题通常称为优化问题.2.利川导数解决牛活屮的优化问题的一般步骤:读题、审题还脈I问题问题得以解决得到故优解答案丿醫器詈理到函数极值点.彊ffi点答案：①连续③端点处【课前自测】1.已知函数fix)=2x3-6x2+m(m为常数)在［-2,2］上冇最大值3,那么此函数在［-2,2］上的授小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不对答案：A提示:.广(x)=6x(x-2)f・・・.心)在(一2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数，・••当

3、x=0时,心)=加最大•.I加=3,夬一2)=—37,夬2)=_5.2.当xHO时，冇不等式()A.ev0时Jvl+x,当x<0时，ev>l+xC.eA>l+xD・当*0吋『<1+兀，当x>0时ex>l+x答案:C提示:解法1构造fix)=eY-x-1,则/'(x)=ev-1;当x<0时，广(x)<0,函数单调递减，Xx)>/(0)=0=>x<0时，ev>x+1;当x>0时，.厂(x)>0,函数单调递增，Xx)>A0)=0,故选C・解法2利用图象易知c>x+1恒成立.3.已知某生产

4、厂家的年利润尹(单位：万元)少年产1-量x(单位：刀件)的函数关系式为y=—討+皿一234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件答案:C提示：因为=—x2+81,所以当x>9时，y'VO；当x£(0,9)时，尹‘>0,所以函数y=—^x3+8U-234在(9,+8)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x=9是函数的极大值点，又因为函数在(0,+°°)上只有一个极大值点，所以函数在x=9处取得最人值.X4若函数7U)=百石(G>0)在［1,+8)上

5、的最大值为平，则G的值为•答案:<3-1.丄口一x1+a—2x2a—/厂提仝/(沪(斗)2=尹示F>辺时，f(x)<0,/(r)单调递减，当一y［a0,/(x)单调递增,当兀=逅时，比)=誓寻,近=爭<1,不合题意.•V/Wmax=/(1)=］+口=£»a=书~1•5设函数/W=t7?-3x+l(xeR),若对于任意XG［—1,1］，都有/(X&0成立，则实数a的值为答案：4提示:若x=0,则不论。取何值,几丫)20显然成立.当x>0,即xe(O,l］时,/(x)=o?—3x

6、+120可化为设g(x)=p-p，则g，(力=塑尹，所以g(x)在区间(0,讣上单调递增，在区间1］上单调递减,因此g(X)n】ax=g(f)=4,从而G34.31当x<0,即%£［—1,0］时，同理，。冬丁一己.g⑴在区间［一1,0)上单调递增，•*-gWmin=g(-l)=4,从而aW4,综上，可知g=4.【课标示例题】例1利用导数研究函数的零点或方程的根(13江苏)设函数f(x)=lnx—ax,g(x)=ex—ax,其中a为实数.⑴若f(x)在(1,+°°)±是单调减函数，且g(x)在(1,+

7、°°)上冇授小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(一1,+8)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.I1-ax解析：(1)令F(x)=：—a=—-—<0,考虑到f(x)的XX定义域为(0,+8),故a>0,进而解得x>a_1,即f(x)在(a+8)上是单调减函数.同理，f(x)在(0,a^)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+8)上是单调减函数，故(1,+-0(a-1,+<-),从而a^Wl,即a21.令g'(x)=eX—a=0,得x=lna.当x

8、；当x>lna时,g'(x)>0.又g(x)在(1,+8)上有最小值,所以lna>l,即a>e.综上，有aW(e,+°°).⑵当aWO吋，g(x)必为单调增函数；当a>0吋，令gr(x)=ex—a>0,解得gx,即x>lna,因为g(x)在(―1,+°°)±M单调增函数，类似⑴有InaW—1,即00,得f(x)存在唯一的零点；(ii)当a<0时，由于f(ea)=a—aea=a(1