导数的实际应用2

《导数的实际应用2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、导数的实际应用2（优化）王文英学习对“终身发展必备的基础知识和技能，了解这些知识与技能在生活、生产中的应用，关注科学技术的现状及发展趋势”是高中新课标所规定的课程总目标之一.为此高考数学逐步加大对数学应用的考查,试题背景越来越贴近生活和生产实际.高中数学中引进了导数，这显示了对简单化的追求，又拓宽了数学的思维途径．而以函数为背景的实际问题大量存在，给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小的强有力的工具，也是数学高考命题的一个新热点．例1(2006，福建)　　统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的

2、耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米．　（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？　（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析：本题应将耗油量表示为的函数，对该函数求导，从而求得最小值.解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．因此当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，　　依题意得　　　　令得　当时，是

3、减函数；　　当时，是增函数，∴当时，取到极小值．因为在上只有一个极值，所以它是最小值．　　则当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．点评：本题难度不大，但颇具示范性．首先是将实际问题抽象为函数模型，进而用导数研究函数的性质和极值，其解题思路简洁，易于操作．例２(2007，北京)如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此　钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．分析：先

4、建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形面积的函数关系，利用导数的有关知识解决问题.解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得.　，其定义域为．（II）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．点评：本题主要考查解析几何知识、函数知识以及导数在实际问题中的应用.其解题思路是将已知的几何关系数量化，再借助导数研究其性质.本题巧妙地将实际问题与解析几何、函数、导数结合起来，非常具有新意.例3（2007，福建）　　某分公

5、司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．分析：建立函数关系，并对其求导，对进行分类讨论.解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，　．　（2）当即时，，所以因此若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值为9（6

6、－）万元；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．点评：本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．在一定条件下，怎样使“成本最低”、“用料最省”、“产品最多”、“利润最大”等问题，一般均可建立函数关系式，利用导数求最值的方法来解决，本题颇具代表性．解决此题的关键是确定函数的解析式，再用导数的知识解决，还应注意对参数的讨论.由上面的几个问题我们可以看出它们都是将导数内容和传统内容中的不等式、函数的单调性等知识有机地结合起来进行考查.由此可见导数作为研究函数的工具，在解决实际问题中的

7、极值、最值问题中发挥了重要的作用，起到了事半功倍的效果.练习：1.请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1

8、。说明：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.2.如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的