《1.3.3 导数的实际应用》同步练习2

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1、《1.3.3导数的实际应用》同步练习2第1题.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ第2题.设函数．（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．答案：解：每个点落入中的概率均为．依题意知．（Ⅰ）．（Ⅱ）依题意所求概率为，．第3题.（2007海南、宁夏文）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ第4题.（2007湖南理）函数在区间上的最小值是．答案：第5题.(2007江苏)已知

2、函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．答案：第6题.(2007江西文)设在内单调递增，，则是的（　　）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｃ第7题.(2007江西文)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ　高考资源网第8题.(2007全国II文)已知

3、函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）求的取值范围．答案：解：求函数的导数．（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以当时为增函数，，由，得．（Ⅱ）在题设下，等价于　即．化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．ba2124O所围成的的内部，其三个顶点分别为：．在这三点的值依次为．所以的取值范围为．第9题.(2007山东文)设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．答案：证明：因为，所以的定义域为．．当时，如果在上单调

4、递增；如果在上单调递减．所以当，函数没有极值点．当时，令，将（舍去），，当时，随的变化情况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为．当时，随的变化情况如下表：0极大值从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为．综上所述，当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．高考资源网第10题.（2007山东文)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（

5、Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．答案：解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设．联立得，则又．因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，，即．．．．解得：，且均满足．当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点．所以，直线过定点，定点坐标为．第11题.已知在区间上是增函数，在区间上是减函数，又．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若在区间上恒有成立，求的取值范围．答案：解：（Ⅰ），由已知，即解

6、得，，，．（Ⅱ）令，即，，或．又在区间上恒成立，．第12题.(2007广东文)若函数，则函数在其定义域上是（）A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数答案：B第13题.(2007湖北文)已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．答案：3高考资源网第14题.(2007四川文)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．答案：Ⅰ）∵为奇函数，∴即∴∵的最小值为∴又直线的斜

7、率为因此，∴，，．（Ⅱ）．　　　，列表如下：极大极小　　　所以函数的单调增区间是和∵，，∴在上的最大值是，最小值是．高考资源网第15题.(2007天津文)设函数（），其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．答案：（Ⅰ）解：当时，，得，且，．所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．（Ⅱ）解：．令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（2）若

8、，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（Ⅲ）证明：由，得，当时，，．由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，只要即　　　　　　　　①设，则函数在上的最大值为．要使①式恒成立，必须，即或．所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．高考资源网第16题.(2007重庆文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？