《1.3.3函数的最大小值与导数》同步练习2

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1、《函数的最大(小)值与导数》同步练习2一、选择题1．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　)A．π－1B.－1C．πD．π＋12．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　　)A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数3．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)A．－10B．－71C．－15D．－224．函数y＝x·e－x，x∈[0，4]的最小值为(　　)A．0B.C.D.二、填空题5．函数f(x)＝(－2≤x≤1)的最大值是________，最小值是________．6．函数y＝－x(x≥

2、0)的最大值是________．7．设x0是函数f(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．8．函数f(x)＝，x∈[－2，2]的最大值是______，最小值是______．三、解答题9．函数f(x)＝x3－3ax－a在区间(0，1)内有最小值，求a的取值范围．10．已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若

3、a

4、＞1，求y＝f(x)在闭区间[0，

5、2a

6、]上的最小值．答案一、选择题1．答案：C2．答案：A3．答案

7、：B4．解析：f′(x)＝e－x＋xe－x·(－1)＝e－x－xe－x，令f′(x)＝0得x＝1.又f(0)＝0，f(1)＝e－1＝，f(4)＝4e－4＝，所以f(x)min＝0，故选A.答案：A二、填空题5．解析：x2＋1在x∈[－2，1]上的最大值为5，最小值为1.答案：　16．解析：y′＝－1(x≥0)．令y′＝0，得x＝.当x变化时，y′，y的变化情况见下表：x0y′＋0－y0↗↘∴由上表看出，x＝时，函数的最大值为.答案：7．解析：f′(x)＝(ex－e－x)，令f′(x)＝0，所以x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0，1)，f′(0)＝0为

8、切线斜率，所以切线方程为y＝1.答案：y＝18．解析：f′(x)＝＝，令f′(x)＝0可得x＝1或－1.又因为f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，所以最大值为2，最小值为－2.答案：2　－2三、解答题9．解析：函数在开区间内有最小值，则最小值应是函数在此区间内的极小值．f′(x)＝3x2－3a.若a≤0，则f′(x)≥0，f(x)无极小值，故a>0.令f′＝0，得x＝或x＝－(舍去)．∵函数f(x)在(0，1)内有最小值，则x＝是f(x)的极小值点．∴0<<1.∴0

9、切线方程；解析：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，所以f(2)＝16－24＋12＝4，所以f′(x)＝6x2－12x＋6，f′(2)＝24－24＋6＝6，所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程是：y－4＝6(x－2)，即6x－y－8＝0.(2)若

10、a

11、＞1，求y＝f(x)在闭区间[0，

12、2a

13、]上的最小值．解析：因为f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6[x2－(a＋1)x＋a]＝6(x－1)(x－a)，①当a＞1时，x∈(－∞，1]∪[a，＋∞)时，y＝f(x)递增，x∈(1，a)时，y＝f(x)递减，所以当x∈[0，2

14、a

15、]，且2

16、

17、a

18、＞2，x∈[0，1]∪[a，2

19、a

20、]时，y＝f(x)递增，x∈(1，a)时，y＝f(x)递减，比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可知，当13，函数最小值为f(a)＝a2(3－a)．②当a＜－1时，且2

21、a

22、＞2，在x∈[0，2

23、a

24、]时，x∈(0，1)时，y＝f(x)递减，x∈[1，2

25、a

26、]时，y＝f(x)递增，所以最小值是f(1)＝3a－1.综上所述：当a＞3时，函数y＝f(x)最小值是3a2－a3；当1