导数的实际应用1

《导数的实际应用1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、导数的实际应用1（三角函数）江苏谈玉楼对数学应用意识的考察是高考数学命题的一个重要方面，要求学生能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将实际问题转化成数学问题，以及转化以后如何综合运用学科内知识解决数学问题。而三角函数的应用题考查也是高考命题的热点之一。由于导数为我们研究函数提供了一个新的方法，在导数和三角的交汇点处命题将是高考命题的一个方向。以下通过几个例子来谈一谈。例1.如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为().θaaa（Ⅰ）试

2、将水槽的最大流量表示成关于函数；（Ⅱ）求当多大时，水槽的最大流量最大.解析：（1）由题意其中。（2）令又因为，而在上递减，当=60时水槽的流量最大。点评：导数为求函数的最值，单调性，极值等提供了新的方法，在解题的时候要注意这一方法的应用。随着高考命题改革的不断深入，高考命题强调知识之间的交叉、渗透和综合。从学科的整体高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，是命题的一种趋势，我们应当研究此类试题，掌握其解法，不断提高解题能力。ABCDEFB1类题.1.如图,矩形纸片的边24,25,点、分别在边与上

3、.现将纸片的右下角沿翻折,使得顶点翻折后的新位置恰好落在边上.设,,关于的函数为,试求:(1)函数的解析式；(2)函数的定义域；(3)的最小值.解：(1)设,则.由于,,则,即.而,,所以,解得.故.(2)因为,故当点E与点A重合时,=1.当点E向右运动时,BE长度变小,为保持点B1在边AD上,则点F要向上运动,从而BA的长度变大,则就变小,当点F与点C重合时,取得最小值.又当点F与点C重合时,有,即,解之得或(舍).所以,又是锐角,所以.综上,函数的定义域为.(3)记,因为,所以函数上单调递减,则

4、当时,取得最大值为.从而的最小值为.例2.(2008江苏高考17)．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km,,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。（I）按下列要求写出函数关系式：①设，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。解析：（I）

5、①由条件可知PQ垂直平分AB，，则故，又，所以。②，则，所以，所以所求的函数关系式为。（II）选择函数模型①。。令得，又，所以。当时，，是的减函数；时，，是的增函数。所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。点评：本题第二小问中若选用函数模型②则，令=0则，即，故当时三条排水管道总长度最短。本题能体现数学应用，关注社会生活。以污水处理为背景，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。类题.1.（第1题）如图，是沿太湖南北方向道路,为太湖中观光岛屿,为停车场

6、，km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶，．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/h．(Ⅰ)设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；(Ⅱ)设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是

7、多少时，游客甲能按计划以最短时间到达．解：(Ⅰ)如图，作,为垂足．,，，在△中，(km),=(km)．在△中，(km)．设游船从P到Q所用时间为h，游客甲从经到所用时间为h，小船的速度为km/h，则(h),（h）．由已知得：，，∴．∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达．(Ⅱ)在△中，(km),(km)．∴(km)．∴＝．∵,∴令得：．当时，；当时，．∵在上是减函数，∴当方位角满足时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达．