导数的实际应用.doc

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1、导数的实际应用例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR

2、2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0．例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入，利润令，即，求

3、得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大例4.如图，海岛城市A离海岸120千米，海滨城市B离C点160千米，已知陆上汽车速度是海上轮船速度的2倍，要使A、B两城市之间运输时间最少，转运码头D建在何处最佳?　　[分析]根据题设，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出函数的最小值．[解]设CD=x，则，BD=160-x，又设海上轮船速度为V千米/小时，则所用总时间　　令y′=0得(舍去)，　　在(0，160)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数y在时取得最小值，即转运码头D建在离C为千米处，所用时间最少．[反思]解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数．

4、把“问题情景”译为数学语言，把具体实际抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．本题也可以设∠ADC=θ，把运输时间表示为θ的三角函数，然后再利用导数或其他方法求最小值．4．知识点小结⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单5.课外练习基础题1.如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm,在四个角上截去四

5、个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，则小正方形的边长为_______cm时，盒子容积最大解：（1）正方形边长为x,则V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0

6、BC=b∴AD=h+b,∴S=①∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b②由①得b=h,代入②,∴l=l′==0,∴h=,当h<时，l′<0,h>时，l′>0.∴h=时，l取最小值，此时b=3．某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？解要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短．如右图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m，因此新墙总长度L=2x+(x>0),L′=2-．令L′=2-=0,得x=16或x=-16．∵x>0,∴x=16．∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点．∵x=16,∴=

7、32．故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省．4．某厂生产某种产品件的总成本（万元），又知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品的单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？解：设产品单价为，则，所以总利润满足：因此令时，总利润最小。历年过往真题5.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：，已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的