导数的实际应用教案.doc

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1、1.3.3　导数的实际应用【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案_或最佳策略．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的

2、最值.题型一　面积、体积的最值问题例1　如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解　设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，于是V(x)＝(a－2x)2x,0

3、去)．x1＝a在区间内，x1可能是极值点．且当00；当x10)，则矩形的面积S＝2x

4、(4－x2)(00；当0)，所以f(x)＝kx(d2－x2)，0

5、)＝d(d2－3x2)＝0.解方程d2－3x2＝0，得两个根x＝±d，其中负根没有意义，舍去．当00；当d

6、隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？解　如图，设半圆的半径为r，矩形的高为h，则截面积S＝2rh＋＝20，截面周长C＝2r＋2h＋πr＝2r＋＋πr＝2r＋－＋πr＝r＋，记C(r)＝r＋，则C′(r)＝2＋－.令C′(r)＝0，得r＝2时，周长C最小．即宽为4时，截面周长最小，用料最省．题型三　省时高效、费用最低问题例3　如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km.在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50k

7、m，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？解　设点C与点B的距离为xkm，则运输时间T(x)＝＋，0≤x≤300.因为()′＝，所以T′(x)＝－.令T′(x)＝0，则有5x－3＝0，5x＝3，25x2＝9(1502＋x2)．解此方程，得x＝±＝±＝±112.5.舍去负值，取x＝x0＝112.5.因为T(0)＝＋＝11，T(300)≈11.2，T(112.5)＝＋＝10，而10是11,11.2和10中的最小者，所