第五章线性代数方程

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1、第五章线性代数方程的求解基本步骤：i•结构离散化，输入或生成结点信息-结点坐标单元信息-单元结点编号ii•计算单元刚度矩阵，形成体刚度矩阵包括计算[b]iii・形成结点载荷向量iv.引入约束条件v・解线性方程组vi.求出结点位移vii•计算单元的应力并输出§5-1约束条件的处理1.对称性与反对称性(1)对称结构承受对称载荷作用时(2)对称结构承受反对称载荷作用1.约束位移的引入主元置1法主元赋大值§8-2总刚度矩阵的存贮法1.半带宽存贮法XXXX0XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

2、XXXXXXXX0X2.一维压缩存贮法§5-1高斯消去法求解过程和计算公式现以三元线性代数方程组为例介绍高斯消去法的求解过程(b)(c)K2KJ、了、K“心2心兀2>=Vf2>心.X,IJ丿矩阵形式:如果心H0,则可将第一系数化为1,于是K3內+K32X2+心3兀3=F3(d)(心十心十A11A11A11(e)K和K、3耳Xy+—X.+—X.-—L△j]K]]K]](f)K；?=K、j/KzF^=FJK^(j>2)（心-钞与兀2+（心-竽J勺=F「WA11A11(i,j>2)(i>2)(g)则第一次消元

3、后的方程写为:'1K12"(1门KI3■J片⑴"0心2K23<兀2>—0^32“⑴心3砰）同样的消去过程对（g）中的后两式进行,由于K^=(KllK22-Kl2K2l)/Kll如果K；；）工0用K；?除（g）中的第二式，得工2+輕卡式中k£)=k£)/K£),Ff=Ff/k£)由(g)第三式得Ff式中Kg）=辎一K］；）Kg）,Ff話⑴—Kgg⑵经第二次消元后的方程为j/Cd疋⑵.K13、兀】耳⑵、01疋（2）心3<兀2>=

4、）经第三次消元后的方程为'1疋⑶0201心3兀2A=V耳⑶-001X.■丿/厲⑶方程组的系数矩阵化为了上三角阵，其解很容易用后退代入求得。将线性方程组的系数矩阵化为了上三角阵，这一过程称为消去过程。用后退代入依次求得方程组的解A„,X„_.”.•，召称为回代过程。应该指出：高斯消去法消元过程能否进行，取决于当时第〃个方程的系数心芽（称为主元）是否不等于零。由于采用有限元位移法，当结构的总体刚度在消去刚体位移后是正定的，矩阵的正定性与其各级主子式大于零是等价的。这保证了消元过程中主元不为零的条件，从而高斯消

5、元法在应用中自始至终都是可行的o一般而言，对于〃阶线性方程组,消元过程的第加步第，行（i>m）中元素的计算公式可写K（加-1）（m-1,2,…/一1、J,j=m+1，m+2,…，n）K（m）_«（加一1）卜im疋（〃】_1）八“_八可—p（加-I）"mjKF（〃l1）4imiK（〃l1）m△mm而第⑵行的元素计算公式K絆=K畀/K貯）（m=1,2,…,n;j=m,m+1,.../）琦）二梯1/心阳）伽=1,2,・・异）高斯消去法的回代过程的计算公式为石=耳⑷一£Kfr（i=n-l,n-2,…,1）；=/+

6、!1.矩阵的分解用高斯消去法解线性方程组时，其消元过程实际上是将系数矩阵[K]进行一系列的初等变换，使[K]变成一个主对角元全为1的上三角阵，也就是说，以若干个初等矩阵左乘矩阵[K]就可以得到上三角阵[B],这可写为[eJe2].[ep[k]=[b]或W=（[e1][e2J.X1）-，[b]恥）]=0siaQ(a)］是把单位矩阵主对角线上第i个元素换成a岛⑷］是把第i行第丿•列处的零元素换成”>J)o由矩阵相乘可知，［Ej［Ej.XJ是一个下三角阵，由此可以得出若〃阶矩阵［K］的所有主子式均不为零，则［K

7、］可以分解为一个下三角阵［C］和一个上三角矩阵［B］的乘积，且若主对角线上的元素全为1,则这种分解是唯一的。2・对称矩阵的分解根据上述矩阵分解，有[K]=[clB]其中［C］为下三角矩阵，而［B］为单位上三角矩阵，进一步分解可得［c］=［LlD］式中是⑹单位下三角矩阵，［切为对角矩阵，于是[k]=[lMb]如果［k］是对称矩阵，即［K］二［k］J于是［k］^［bY［dY［lY^［bY［dW式中［冴是单位上三角矩阵，根据矩阵分解的唯一性必有［弘［厶r因此，对称矩阵［K］可以分解为［K］=［LlDW§5-2三

8、角分解解法设屛介线性方程组［K^X}=［F}的系数矩阵［K］是对称正定的，则其可以唯一地分解为[K]=[LlDW其中［厶］是单位下三角矩阵1■[A]51厶31厶32'nf2■厶”1厶”2厶”3.…1而［D］是对角矩阵。由矩阵相乘可得/jl=^31/"[，I32=(K32—)/"2'"3=K33—+'32"2)仃3=［K“3-（仃厶1〃1+人2,32〃2）］/〃31泊=K”[/d[9ln2=(K〃2-加21〃1)/〃29〃一1