第五章 线性代数方程组的直接解法5.ppt

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1、§5直接法的误差分析/*ErrorAnalysisofDirectMethod*/一、扰动方程组的误差界/*ErrorBoundofPerturbedSystems*/由实际问题得到的方程组的系数矩阵或者常数向量的元素，本身会存在一定的误差；这些初始数据的误差在计算过程中就会向前传播，从而影响到方程组的解。初始数据误差和方程组的近似解的误差之间关系例12考察方程组：精确解为设方程组存在扰动精确解为上例说明该方程组的解对初始元素的扰动非常敏感。设方程组为系数矩阵和常数向量的扰动分别记为：和实际求解的方程组为如果和很小，而很大，则称方程组为病态(/*ill-conditioned

2、*/)方程组，称系数矩阵为关于求解方程组或求逆的病态矩阵；反之，如果和微小时，也微小，则称方程组为良态(/*Well-conditioned*/)方程组，称系数矩阵为关于求解方程组或求逆的良态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性设为可逆阵，为一种从属矩阵范数，则称为矩阵的条件数若矩阵范数取2-范数，则得到谱条件数：若矩阵范数取1-范数，则得到1-条件数：若矩阵范数取-范数，则得到-条件数如果是正交矩阵，则条件数的性质（）设正交矩阵：如果为正交矩阵，则Lemma设，在正交变换下，谱范数和F-范数保持不变，即设则有：证明：（1）同理可证（2）对设设和是按

3、模最大和最小的特征值，则取2-范数等号成立设为可逆阵，和分别满足方程组和其中，且适当小，使得则其中所用的是任意向量范数和从属于它的矩阵范数证明：设，如果则可逆，且且由条件所以可逆，且（摄动定理）方程组有唯一解Corollary(推论)如果，则如果，则在上述定理的条件下，仅由或者引起的解的相对误差限可大致认为是原始扰动的相对误差的倍数，倍数近似等于条件数。如果，则证明：结论得证实际的相对误差与条件数的关系例如：Hilbert矩阵就是一个著名的病态矩阵n46810283752.9E+73.39E+103.54E+13155141.5E+71.53E+101.60E+1328

4、3752.9E+73.39E+103.54E+13对称正定矩阵设是方程组的精确解，是近似解，则有，称之为剩余（或残余）向量证明：定理给出了相对误差的估计范围（与条件数有关）结论得证二、病态方程组求解时需要注意的问题常用的几种判定方程组为病态的经验方法当相对来说很小时，或者矩阵的某些行（列）近似线性相关时，可能为病态；矩阵在采用选主元消去法求解方程组时，在消元过程中出现很小的主元，可能为病态；解方程组得到了一个很大的解，或者特征值相差大数量级，可能为病态；当系数矩阵的元素间数量级相差很大，且无一定规则时，可能为病态。求解病态方程组时，常用的几种处理原则采用高精度的

5、算术运算；采用预处理方法；可逆矩阵和的选择要求满足：其中采用某些特殊的数值方法求解；重新寻找出现病态的原因，改变原问题的提法。