线性代数方程式的根

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1、第第8第888章章線性代數方程式的根
矩陣
克拉莫法則
高斯消去法
LU分解複習1
矩陣(matrix)是將排列成長方形的元素陣列以單一的符號表示。
[A]是矩陣縮短的表示方式，且a代表矩陣中個別的元素ij(element)。9-2複習2
水平的一整組元素稱為列(row)，
垂直的一整組元素稱為行(column)。
第一個下標i表示此元素落在第幾列，第二個下標j則表示此元素落在第幾行。
矩陣具有m列以及n行，稱為具有m乘n（或m×n）的維度維度(dimension)。9-3特殊矩陣
當m=n，稱之為方陣(s

2、quarematrices)。
特殊形式的方陣：對稱矩陣對角矩陣單位矩陣上三角矩陣下三角矩陣帶狀矩陣9-4矩陣運算
兩個m乘n的矩陣相等，若且唯若兩個矩陣中每一個對應位置的元素都相等。
兩個矩陣的相加，是把兩個矩陣中每一個對應位置的元素加起來。同理，兩個矩陣的減法，是將對應位置的元素相減。
矩陣[A]與純量g的乘法是把[A]中的每一個元素都乘以g而得。
矩陣乘法運算ncij=∑aikbkjk=19-5反矩陣與與轉置矩陣與轉置矩陣
如果矩陣[A]是方陣且非奇異(nonsingular)，則存在矩陣[A]-1，

3、稱為[A]的反矩陣反矩陣(inverse)。[A][A]-1=[A]-1[A]=[I]
轉置矩陣(transpose)是將列轉換到行而行轉換到列。(a)T=aijji9-6以矩陣形式表示線性代數方程式
矩陣提供了一個簡潔的表示法來表示聯立線性方程式。a11x1+a12x2+a13x3=b1a11a12a13x1b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a21a22a23x2=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3a31a32a33x3b3-

4、1{}x=[A]{}b求解[A]{x}={b}(不是非常有效率)9-7圖形法1
要求得圖形解，將兩個線性方程式在直角座標(Cartesiancoordinates)上畫出即可求得。9-8圖形法2
三種求解方程式時會有問題的狀況。a)兩條方程式是平行線，無解。b)兩條線是一致的，在這種情況則有無限多解。c)病態系統(ill-conditioned)。從圖形上來看，很難判斷這兩條線在哪一點交叉。9-9行列式值
行列式值D以及係數矩陣[A]使用同樣的元素組成，它們卻是完全不同的數學觀念。與矩陣對比，行列式值是一個

5、數字。1´1a=a1111aa11122´2=aa-aa11221221aa2122aaa111213aaaaaa2223212321223´3aaa=a-a+a212223111213aaaaaa323331333132aaa3132339-10克拉莫法則
克拉莫法則(Cramer’srule)說明了線性代數方程式系統中的未知數，可以表示成兩個行列式值的比值，分母為D，且分子是將D中有關未知數的係數那一行抽換為常數b，b，…，b。12nEx.三元一次方程式baa11213baa22223baa32333x

6、=1D9-11克拉莫法則的例子1
利用克拉莫法則求解：
算出行列式值D：9-12克拉莫法則的例子2
解可以計算如下：9-13單純高斯消去法1
未知數消去法方程式需要做一些處理，然後從方程式中消去其中一個變數。此消去階段產生一條只具有一個未知數的方程式。最後，這個方程式可以直接解出，並將解出的結果向後代換到原始的方程式中，求解剩餘的那個未知數。9-14單純高斯消去法2
向前消去不斷利用軸元方程式，轉換方程式成為上三角系統。
向後代換(n-1)b求解nx=n(n-1)ann結果可以向後代換到第(n-l

7、)個方程式，往下解出x。.n-1n(1)i-(1)i-bi-∑aijxjji=+1x=i(1)i-aii(i=-n1,n-2,⋯,1)9-15單純高斯消去法的M檔9-16軸元1
前面所述的高斯消去法之所謂稱為「單純」，主要原因是因為在消去與向後代換階段，有可能會遇到除以零的情況。2x+3x=8234x+6x+7x=-31232x-3x+6x=5123
即使軸元元素不完全等於零，當很接近的時候也會導致問題。因為軸元元素與其他元素相較起來非常小，所以會引入四捨五入誤差。9-17軸元2
在對每一列正規化之前，最好

8、先決定在軸元元素之下，行中具有最大絕對值的係數。我們可以交換列，，使得最，使得最大的元素變成軸元元素。而這個技巧稱為部分軸元(partialpivoting)。
如果行與列都根據尋找出的最大元素而交換，則此程序稱為完全軸元(completepivoting)。(少用)9-18範例練習
利用部分軸元高斯消去法求解下列方程式系統。2x-6x-x=-38123-3x-x+7x=-34123-8x+x-2x=-20123