第五章 解线性代数方程组

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1、求解线性方程组的直接解法5.3      特殊矩阵的三角分解① 实对称矩阵的LDLT分解设A是实对称阵,且A的所有顺序主子式均不为零，则LDR分解中R=LT,故可用以作LDLT分解.这就是说,当A的对角元素非零时，我们可以作LU分解,也就得到LDLT分解,L相同,是单位上三角阵,U的对角元素构成D.不过没有利用对称性,存储量运算量都未能节省—预计是一半。试用n=3的计算表格说明如何实现节省。d1=u11=a11u12=a12l21=u12/d1u13=a13l31=u13/d1 d2=u22=a22-l21u12u23=a23-l21u13l32=u23/

2、d2  u33=a33-l31u13-l32u23这样,可用上半部元素逐列计算D,LT。也可用下半部元素逐行计算L,D。引进輔助量t1,t2代替u1j,u2j,并利用对称性得到：d1=a11  t1=a21l21=t1/d1d2=a22-t1l21 t1=a31l31=t1/d1t2=a32-t1l21l32=t2/d2d3=a33-t1l31-t2l32 据此不难写出LDLT分解A=LDLT的计算公式和程序(逐行计算L,D).d1=a11fori=2:nforj=1:i-1tj=aij-lj1t1-lj2t2-…-lj,j-1tj-1lij=tj/dje

3、nddi=aii-li1t1-li2t2-…-li,i-1ti-1end存储约n(n+1)/2单元,乘加运算各约n3/6.利用LDLT分解解Ax=b分四步:1．分解A=LDLT2．解Lg=b求g3．解Dy=g求y4．解LTx=y求x ②    实对称正定矩阵的LLT分解A实对称正定时顺序主子式皆正,可作LDLT,D的对角元素皆正,有正的平方根。因此有LLT分解A=LLT,L下三角阵,对角元素皆正,是LDLT中的LD1/2.乃可用上半部元素逐列计算LT.l11=a111/2l21=a12/l11l31=a13/l11 l22=(a22-l212)1/2l32

4、=(a23-l21l31)/l22  l33=a33-l312-l322也可用下半部元素逐行计算L.计算表格和算法安排如下:l11=a111/2  l21=a21/l11l22=(a22-l212)1/2 l31=a31/l11l32=(a32-l31l21)/l22l33=(a33-l312-l322)1/2 l11=a111/2fori=2:nforj=1:i-1lij=(aij-li1lj1-li2lj2-…-li,j-1lj,j-1)/djjendend存储量,运算量同LDLT分解,但要n次求平方根.利用LLT分解解Ax=b分三步:1．分解A=LL

5、T2．解Lg=b求g3．解LTx=g求x ③    三对角方程组的追赶法消去法或LU分解用于三对角方程组有特殊形式,即称追赶法.设Ax=f:b1x1+c1x2=f1aixi-1+bixi+cixi+1=fii=2,3,n-1anxn-1+bnxn=fnA是三对角阵,则L,U同样结构.L的对角元素为α2,α3,…，αn,U的对角元素为β1,β2,…,βn,上对角元素同A.1．分解A=LU:β1=b1,αi=ai/βi-1,βi=bi-αici-1,i=2,3,…,n2．解Lg=f求g:g1=f1,gi=fi-αifi-1,i=2,3,…,n3．解Ux=g求x

6、:xn=gn/βn,xi=(gi-cixi+1)/βi,i=n-1,n-2,…,1编程时，A可用三个一维数组，f用一个一维数组.L,U存入A。g，x存入f。还有一种计算格式,消去时用主元素除主行元素,即分解A为下三角矩阵和单位上三角矩阵之积,相当于对AT作LU分解.括号中是单位上三角矩阵的上对角元素.计算步骤:1．分解A=LU:β1=b1,γ1=c1/β1,βi=bi-aiγi-1,γi=ci/βi,i=2,3,…,n2．解Lg=f求g:g1=f1/β1,gi=(fi-aigi-1)/βi,i=2,3,…,n3．解Ux=g求x:xn=gn,xi=gi-γi

7、xi+1,i=n-1,n-2,…,1三对角矩阵是带形矩阵的特例.所谓带形矩阵是那些主对角线附近几条对角线以外元素皆零的矩阵,即aij≠0,仅当-m1

8、=02.         齐次性:║cx║=│c│║x║,3.三角