解线性代数方程组的直接法.ppt

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1、§1引言与预备知识第5章解线性代数方程组的直接法一、引言线性方程组的来源线性方程组的分类线性方程组的两类解法：1、直接法2、迭代法二、向量和矩阵(略)三、特殊矩阵对角矩阵三对角矩阵上三角矩阵上海森伯(Hessenberg)阵对称矩阵埃尔米特矩阵对称正定矩阵正交矩阵酉矩阵初等置换阵置换阵定理1设A∈Rnⅹn,A非奇异⇔…?定理2若A∈Rnⅹn对称正定矩阵，则⇒…?定理3若A∈Rnⅹn对称矩阵，则对称正定矩阵<=…?定理4(若当标准型)…其中对角化的条件：1）…；2）….§2高斯消去法一、高斯消去法设有线性方程组：AX=b例1（略）一般地,顺序高斯消去

2、法:（1）消元过程其中第一步：若用乘第一行加到第i行中，得到第二步：若用…….……第k步：若用乘第k行加到第i行中，得到其中第n-1步：……（2）回代过程若则说明:若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。定理5(1)可以通过高斯消去法求解.(2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。列主元高斯消去法的必要性,简例:算法.乘除法运算工作量消元过程乘除法次数：回代过程乘除法次数：总的乘除法运算次数：非零判断次数最多为：行交换的元素个数为：作业P229,2.二、矩阵的三角分解下面建立高斯消去法与矩阵的因

3、式分解的关系.§3高斯主元素消去法例3’采用3位十进制，用消元法求解解法1：解法2：全主元消去法;列主元消去法.一、列主元消去法设有线性方程组：AX=b第一步:先在A的第一列选取绝对值最大的元素作主元素,然后交换第1行和第i1行(当i1≠1时),再进行第1次消元.……第k步选主元素,然后交换第k行和第ik行(当ik≠k时),再进行第k次消元.……第n-1步回代求解算法(列主元消去法).……(见P177)下面用矩阵描述列主元消去法说明:L,U,Ip的存贮.二、高斯—若当消去法算法(高斯—若当消元法).例4采用高斯—若当消去法求矩阵的逆A-1.作业P2

4、30,3,7.§4矩阵的三角分解法设有线性方程组：AX=b一、直接三角分解法1、不选主元三角分解算法当A非奇异时，由不需选主元的顺序高斯消去法知就有,不选主元的三角分解算法：于是，可以通过求解两个三角形方程组得到原方程组的解,求解方程组计算公式:说明:L和U的存放;计算∑aibi;运算量n3/3;Doolittle分解法;求解方程组优点.练习利用LU(Doolittle)分解法求解方程组2、选主元直接三角分解法当需选主元时，PA=LU.设第r-1步已完成,就有选主元三角分解算法：求解Ly=Pb及Ux=y的算法：二、平方根法应用有限元法解结构力学问题

5、时，最后归结为求解线性代数方程组，系数矩阵往往对称正定。平方根法是一种对称正定矩阵的三角分解法，广泛用于求解系数矩阵为对称正定的线性代数方程组。设A为对称矩阵,且顺序主子式不为零，则若A为对称正定矩阵,则解AX=b的平方根法:…解AX=b的改进平方根法(略去)三、解三对角方程组的追赶法在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立三次样条函数时，都会要解三对角方程组：AX=b并且满足条件(i)保证方程组不能降阶，条件(ii)保证三角分解可做到底。下面讨论三角分解比较两边得到解三对角方程组的追赶法说明:稳定性；运算量5n-4次乘除法；存贮.练习用追赶

6、法求解三对角线性方程组AX=b，其中作业:P2304,8.§5向量和矩阵的范数为了研究线性方程组的近似解的误差估计和迭代法的收敛性,我们需要对Rn中的向量(或Rnⅹn中的矩阵)的大小引进某种度量——向量(或矩阵)的范数.先考虑Rn中向量的长度,然后可定义向量(或矩阵)的范数.定义1在Rn中，对=(a1,a2,,an)T，=(b1,b2,,bn)T，数量积:(,)=T=a1b1+a2b2++anbn.欧氏范数:

7、

8、

9、

10、2=(,)1/2.在Cn中，(,)=H.(1)正定性：等号当且仅当时成立；(2)齐次性：(3)三角不等

11、式：则称为向量的范数或模.由(3)得(4)几种常用范数(无穷范数)(1-范数)(2-范数)(p-范数)可以验证它们都是范数.易见前三种范数是p-范数的特殊情况例6计算向量的几种常用范数定义4(矩阵的范数)(1)正定性：等号当且仅当时成立；(2)齐次性：(3)三角不等式：则称为矩阵的范数或模。诱导出的常用范数有：它们满足如下相容关系：例7计算矩阵的几种常用范数§6误差分析一、矩阵的条件数考虑线性方程组AX=b系数矩阵A和右端b的小扰动所产生的相对误差.例8方程组准确解为常数项微小变化后准确解定义7如果矩阵A或常数项b的微小变化,引起线性方程组AX=b

12、的解的巨大变化,则称此方程组为病态方程组矩阵A称为病态矩阵,否则称方程组为良态方程组,矩阵A为良态矩阵.作业:P231,1