第六章解线性代数方程组的直接法

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1、第六章解线性代数方程组的直接法6.1高斯消去法本章研究的对象是数值法解n阶线性代数方程组：用矩阵和向量表示如下：1、基本思想：把方程组转化为一个等价的三角形方程组，也即消元过程2、高斯消去法的计算过程：为符号统一，方程改写如下形式：用矩阵符号记为：其中：用矩阵符号记为：其中：如下：用矩阵符号记为：其中：用矩阵符号记为：其中：把系数矩阵A(1)化为上三角矩阵A(n)的过程称为消元过程。消元过程中元素的计算公式可以归纳为：逆向回代过程的计算公式为：3、高斯消去法的运算量：（只考虑乘除法）消第一列的n-1个系数，需要作nX(n-

2、1)次，第二列n-2个系数，要作(n-2)X(n-1)次，总起来，由A(1)到A(n)需要的运算量是：要做的除法运算量是：回代需要的乘除法总运算量是：因此高斯消去法总共需要的乘除法运算量是：6.2主元素消去法1、原因目的：为控制舍入误差而提出来的一种算法，如：或但很小2、例1：准确解为：x1=10000/9999,x2=9998/9999现在用高斯消去法去解，得：从第二个方程解出x2=1，再代入第一个方程得x1=0。与准确值相差甚大，为控制舍入误差，采用另一种消去过程，方程交换一下，变为：消去第二个方程中的x1得：从而求得

3、：x2=1，x1=1，与准确值非常接近解决舍入误差增长的办法：（1）、增加参加计算的数字位数（2）、作除法运算时，选取绝对值比较大的作分母，而这正是主元素消去法的基本思想3、例2：首先，在3个方程的系数中选取绝对值最大者作为主元素a11(1)：然后在后两个方程中再选取绝对值最大的元素作为主元素a22(2)得：3、与高斯消去法的区别：4、算法6.1列主元Gauss消去法：（1）、输入系数矩阵A，右端项B，阶n（2）、对k=1,2,…,n-1循环a、按列选主元保存主元所在行的指标ikb、若a=0，则系数矩阵奇异，计算停止；否则

4、顺序进行c、若ik=k，则转向d；否则换行aik,j>akj，j=k+1,…,nbik>bkd、计算乘子mik=aik/akk，i=k+1,…,ne、消元：aij:=aij-mikakj，i,j=k+1,…,nbi:=bi-mikbk，i=k+1,…,n（3）、回代6.3LU分解当矩阵A的所有顺序主子式都不为0时有：其中L是单位下三角阵，U是上三角阵：事实上只要A非奇异，就存在置换矩阵P和Q使：当A实现了分解，此时有：令UX=Y，则有：因L是对角线元素位1的下三角矩阵，因此：因此问题的关键是如何分解A，下面以四阶方程组

5、为例，设A已分解为LU的乘积，则有：从第一行开始由矩阵相等则对应元素相等推出U的第一行：再由第一列算出L的第一列：依次再求出其他各行各列：由此不难推出一般公式：再对k=2,3,…,n计算：列主元LU分解：引进算法6.2（列主元LU分解）（1）、输入矩阵A和n（2）、对k=1,2,…,n,循环c、交换A的第k行和ik行元素d、计算U的第k行元素和L的第k列元素例3用LU分解求解下面方程组：对第一个方程组，由LY=b可得：6.4对称正定矩阵的平方根法和LDLT分解当A是对称正定矩阵时：A=LLT当限定L的对角线元素为正的下三角

6、矩阵时，分解唯一也可逐行计算：对j=2,3,…,n循环为避免开平方，把矩阵A分解成：A=LDLT计算矩阵L和D的公式：d1=a11对j=2,3,…,n循环当A进行了LD分解后，解方程组AX=b可分3步完成：例4：利用LDLT分解求解方程组解：容易看出系数矩阵对称且所有顺序主子式均大于零，下面计算L和D：这样就得到：解LY=b，即得：计算Z的各分量：6.5误差分析1、向量范数：（1）、定义6.1：向量X的范数：（2）、定理6.1：向量X的范数等价定理：设

7、

8、．

9、

10、α和

11、

12、．

13、

14、β是Rn上任意两种范数，则存在正常数C1，C2，

15、使得对一切XЄRn有：C1

16、

17、X

18、

19、α≤

20、

21、X

22、

23、β≤C2

24、

25、X

26、

27、α（3）、定理6.2：向量极限定理：设{X(k)}是Rn中向量序列，X是Rn中向量，则2、矩阵范数：设A是一个nxn阶矩阵，定义：为矩阵A的范数由于Rnxn上的矩阵范数可以看作是Rn2上的向量范数，所以：与3种向量范数对应的3种矩阵范数是：3、谱半径：设nxn阶矩阵A的特征值为λi(i=1,2,…,n),则称：矩阵A的任一特征值λi，与其对应的特征向量Xi有关系：4、定理6.4：设任意nxn阶矩阵A，由它的各次幂组成的序列：I,A1,A2,…,Ak,…收敛

28、于零的充分必要条件是