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1、第三章解线性方程组的直接法3.1引言与矩阵的一些基础知识3.2Gauss消去法3.3直接三角分解法3.4向量和矩阵范数3.5误差分析与病态方程组1《数值分析》主讲教师§3.1基础知识§3.1.1引言§3.1.2矩阵特征值与谱半径§3.1.3对称正定矩阵§3.1.4正交矩阵与初等矩阵2《数值分析》主讲教师§3.1.1引言对于n个变量n个线性方程组求解，其表达式为：用向量矩阵表示可表示为：3《数值分析》主讲教师其中4《数值分析》主讲教师5《数值分析》主讲教师§3.1.2矩阵特征向量与谱半径6《数值分析》主讲教师7《数值分析》主讲教师8《数值分析》主讲教师9《数值分析》主讲教师10《数值
2、分析》主讲教师11《数值分析》主讲教师§3.1.3对称正定矩阵12《数值分析》主讲教师13《数值分析》主讲教师§3.1.4正交矩阵与初等矩阵14《数值分析》主讲教师15《数值分析》主讲教师16《数值分析》主讲教师17《数值分析》主讲教师18《数值分析》主讲教师§3.2Gauss消去法§3.2.1Gauss顺序消去法§3.2.2消去法与矩阵三角分解§3.2.3列主元消去法19《数值分析》主讲教师§3.2.1Gauss顺序消去法20《数值分析》主讲教师21《数值分析》主讲教师22《数值分析》主讲教师23《数值分析》主讲教师24《数值分析》主讲教师25《数值分析》主讲教师26《数值分析》
3、主讲教师27《数值分析》主讲教师§3.2.2消去法与矩阵三角分解定理：28《数值分析》主讲教师§3.2.3列主元消去法29《数值分析》主讲教师选主元素的矩阵表示也称初等置换矩阵30《数值分析》主讲教师§3.3直接三角分解法§3.3.1Doolittle分解法§3.3.2Cholesky分解与平方根法§3.3.3三对角方程组的追赶法31《数值分析》主讲教师§3.3.1Doolittle分解法32《数值分析》主讲教师33《数值分析》主讲教师34《数值分析》主讲教师35《数值分析》主讲教师36《数值分析》主讲教师§3.3.2Cholesky分解与平方根法37《数值分析》主讲教师38《数值
4、分析》主讲教师利用Cholesky分解将AX=b转化为，令，则原方程等价解以下两个方程39《数值分析》主讲教师例用平方根法解方程组解验证A正定，由Cholesky分解求得40《数值分析》主讲教师§3.3.3三对角方程组的追赶法41《数值分析》主讲教师42《数值分析》主讲教师下面举实例用追赶法来解三对角方程组。43《数值分析》主讲教师44《数值分析》主讲教师追赶法计算量：5n-4次乘法，o(n),计算量小；稳定性：普半径小于1，稳定。45《数值分析》主讲教师直接解法的Ｍatlab求解1．利用左除运算符的直接解法对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“”求解：x=Ab46《数值
5、分析》主讲教师例1用直接解法求解下列线性方程组。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';x=Ab47《数值分析》主讲教师2．利用矩阵的分解求解线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。48《数值分析》主讲教师(1)LU分解矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU分
6、解总是可以进行的。MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须是方阵。[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U(Lb)或x=U(LPb)，这样可以大大提高运算速度。49《数值分析》主讲教师例2用LU分解求解例题中的线性方程组。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1
7、,-4];b=[13,-9,6,0]';[L,U]=lu(A);x=U(Lb)或采用LU分解的第2种格式，命令如下：[L,U,P]=lu(A);x=U(LP*b)50《数值分析》主讲教师(2)QR分解对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。[Q,R,E]
