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1、浅谈线性代数方程组摘要线性代数有独立的系统的科学体系，史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展。最初的线性方程组问题大都来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。在实际中应用极为广泛，线性代数有部分研究的对彖就是解线性方程组，尤其是线性代数为用计算机解线性方程组捉供了理论基础。为了解决生活中的相关问题，我们将从线性基础开始，进一步加深对线性方程组的认识。关键词线性相关线性方程组逆矩阵生活应用正文:在科技实践屮，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题；一类非
2、线性问题。线性问题是研究最久、理论最完善的，我们可以简单地说数学中的线性问题是最容易被解决的，如微分学研究很多函数线性近似的问题。而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。因此遇到一个问题，首先判定是线性问题还是非线性问题；其次如果是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。可见线性代数作为研究线性关联性问题的代数理论的重要性。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题乂可以计算出来，线性化了的问题乂可以计算出来，线性代数正是解决这
3、些问题的冇力工具。（-）向量组线性相关（无关）与几何中向量共面、共线之间的关系若a,B,Y是三维空间的向量，则：Q线性相关；a,卩线性相关；a,B,Y线性相关分别对应于几何直观的a为零向量；a,B共线；a,P,Y共面。因此，一维空间的基是空间中任意一个非零向量;二维空间的基是空间中两个不共线向量;三维空间的基是空间屮3个不共而的向量组成的。（-）线性方程组与直线、平面的位置关系空间直线、平面的位置关系为线性方程组的结构理论提供了直观的几何解释，同样线性代数屮的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重要作用。例・已知平而上冇三条不同的直线，它们的直
4、线方程分别为厶:ax+2hy+3c=0/2:hx+2cy+3a=0l3:ex+lay+3b=0,试证这3条直线交丁一点的充分必要条件为啊a+b+c二0。证明：必要性，设3条直线11,12,13相交于一点。ax+2hy=-3c则线性方程组＜bx+2cy=-3a有唯一解，ex+lay=-3b(a2b、02b-3c、故系数矩阵A二b2c与增广矩阵b2c-3aj2勺、c2a-3b丿的秩均为2,于是
5、A
6、=0,由于alb-3cA=b2c-3a=6(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-ac-/>c]=3(«+b+c)[(«-b)2+(b-c)2+(c-a)2]c2a-
7、3b但是(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2^0,Aa+b+c二0充分性：由a+b+c二0,则从必要性的证明可知：丨AI二0,故:秩(A)<3O由于"2b=2(ac-b2)=-2[(a+-/?)2+-/?2]0,b2c24故：秩(A)=2,于是，秩(A)=秩(A22。。因此线性方程组有唯一解，即，3条直线11,12,13相交于一点。(三)线性方程组在实际生活中的应用。运筹学的一个重要议题是线性规划，而线性规划要用到大量的线性代数的处理。如果掌握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题。以得到最优解：比如你是一家小商丿占的老板
8、，你可以合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。如果你是一个大家庭中的一员，你又可以用规划的办法來使你们的家庭预算达到最小。这些都是实际的应用啊！如下例子：设三种食物每100克中蛋口质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每犬的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。营养每100g食物所含营养(g)减肥所要求的每FI营养量脱脂牛奶大豆面粉乳清蛋口质36511333碳水化合物52347445脂肪071.13设脱脂牛奶的用量为&个单位(100g),大
9、豆面粉的用量为X2个单位(100g),乳清的用量为X,个单位（100g）,表中的三个营养成分列向量为:_36_51'13_a=52,=34,4=74,071」则它们的组合所具有的营养为365113xial+x2a2+x3a3=xx52+兀234+兀374071.1使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程:「365113无］_33_523474x2=45073_=>Ax=b用MATLAB解这个问题非常方便，列出程序隔763如下:A二［36,51,13;52,34,74;0,7,1.1］b二［33;45;3］x=Ab程序执行的结果为：_0.
10、27720.39190.
