第六讲函数及其表示（二）(1)

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1、第六讲函数及其表示(二)1、分段函数在函数的定义域内，对于自变量兀的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。说明：(1)分段函数是一个函数而不是儿个函数，只不过兀的取值范围不同时，对应法则不相同。(2)处理分段函数问题时，首先要确定自变量X的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。2、映射设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系/,使对于集合A屮的任意一个元素兀，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A—B为从集合A

2、到集合B的一个映射。象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素g对应的〃中的元素b叫做d的象，a叫做b的原象。注：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为o函数与映射：函数一定是映射，映射不一定是函数。3、求函数解析式的方法①待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法。例1设/(兀)是一次函数,fi/[/(x)]=4x+3,求/(x)o解：设/(兀)=处+b(aH0),贝Ij/T/Wl=af(x)+b=a(ax+b)-}-

3、b=a2x-}-ah+bah+b=3[b=[b=3/(x)=2x4-1或/(x)=-2x+3o②配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求/⑴的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数/(力的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例2已知/(x+丄)=，+丄(%>0),求/(兀)的解析式。X%■11919解：tf(x—)=(兀—)"一2,xH—»2,f(x)=x—2(兀n2)。XXX③换元法：己知复合函数f[g(x)]的解析式时，还可以用换元法求/(兀)的解析式。

4、与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3已知于(頁+1)=x+2頁，求/(X+1)o解：令t=4x+1,贝ijr>1,x=(r-1)2o・.・/(頁+1)=无+2眉，・•・/(r)=(r-l)2+2(r-l)=r2-l,r>l；/(x)=x2-(x>l),/./(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x>0)o①代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数吋，一般用代入法。例4己知函数y=与y=g(兀)的图象关于点(-2,3)对称，求g(Q的解析式。解：设M(兀,y)为y=g(兀)上任一点，且_/)为M(兀,y)关

5、于点(-2,3)的对称点。x'+x—9—=_2=-X-4则2丄，解得：,，y+y二3Iy=6_y、2'•・•点在y上，/.y=x2+x；{x-=.—x—4把彳z代入得：6—y=(―兀一4)~+(―兀一4)；〔V=6-y整于里得y——X2—lx—6,g(X)—_兀2—7x—6o②构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以刈变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5设/G)满足广⑴一2/•(-)二兀求/(x)。解vf(x)-2f(-)=x①显然20,将兀换成丄，得：/•(-)-2f(x)=丄②XXXX2解

6、①②联立的方程组，得：/(%)=--——。33兀③赋值法：当题屮所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例6已知：/(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y^-})恒成立，求/(兀)。解•・•对于任意实数兀、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y^l)恒成立，不妨令兀=0,则有/(一刃=/(0)-y(-y+1)=14-y(y-1)=y2-y+l；再令一歹=兀，得函数解析式为：/(x)=x2+x+lo④递推法：若题中所

7、给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例7设/(%)是定义在N+上的函数，满足/(I)=1,对任意的自然数a、b都有f(a)+/(&)=f(a+/?)-ab,求/(x)。解•••+=f(a+b)-ab,a.bEN+,•••不妨令a=x,b=l,得：/(x)+/(I)=f(x+1)-x,又/(l)=l,SV(X4-l)-/(X)=X+l①令①式中的x=l,2,・・•，〃一1得：/(2)-/(1)=2,/(3)-/(2)=3,……,/(n)-/(n-l)=n;将上述各式相加

8、得：/(«)一/(I)=2+3+••F,.•・=1+2+3—+«="("+1),./(X)=—%2+—N〃4、求函数值域(最值)的方法(1)配方法：形如y=ax2+bx+c(a^O)或F(x)=“/(兀)］?+/^(x)+c(aH0)类的函数，根据二次函数的极值