第二篇 函数与基本初等函数ⅰ第1讲 函数及其表示

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1、第1讲　函数及其表示【2013年高考会这样考】1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数

2、f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确

4、定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．一个方法求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函

5、数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析　∵3x＋1＞1，∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.答案　A2．(2011·江西)若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)．A.B.C.D．(0，＋∞)解析　由log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－＜x

6、＜0.答案　A3．下列各对函数中，表示同一函数的是(　　)．A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB．f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)C．f(u)＝，g(v)＝D．f(x)＝()2，g(x)＝答案　C4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)．A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解析　根据规定各班每10人推选一名代

7、表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝.故选B.答案　B5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．解析　任作直线x＝a，当a不在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)图象没有交点；当a在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点．任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有交点，则b在

8、函数y＝f(x)的值域内；当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象没有交点，则b不在函数y＝f(x)的值域内．答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]　　考向一　求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.[审题视点]理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．解　(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须且只须即解得：－1

9、分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.【训练1】(2012·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为，求函数y＝f