第二章第1讲函数及其表示

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1、2016高考导航内　容要　求ABC1．函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的概念√函数的基本性质√指数与对数√指数函数的图象与性质√对数函数的图象与性质√幂函数√函数与方程√函数模型及其应用√2．导数及其应用导数的概念√导数的几何意义√导数的运算及其简单的复合函数的导数√利用导数研究函数的单调性与极值√导数在实际问题中的应用√第1讲　函数及其表示1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A

2、到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．[做一做]1．给出下列五个命题，其中正确命题的序号是________．①函数是定义域到值域的对应关系；②函数f(x)＝＋；③f(x)＝5，因

4、这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；⑤f(x)＝1与g(x)＝x0表示同一个函数．解析：由函数的定义知①正确；由得定义域为∅，所以不是函数，故②错误；因为函数f(x)＝5为常数函数，所以f(t2＋1)＝5，故③正确；因为x∈N，所以函数y＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f(x)＝1的定义域为R，函数g(x)＝x0的定义域为{x

5、x≠0}，故⑤错误．答案：①③2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[做一做]2．已知f(x)＝x

6、2－1，g(x)＝则f[g(x)]＝________；g[f(x)]＝________.解析：当x≥0时，g(x)＝x－1，故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x＜0时，g(x)＝2－x，故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；所以f[g(x)]＝当x≥1或x≤－1时，f(x)≥0，故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；当－1＜x＜1时，f(x)＜0，故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x2.所以g[f(x)]＝答案：　3．映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应法则f，使对

7、于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．[做一做]3．以下给出的对应是从集合A到B的映射的序号为________．　①集合A＝{P

8、P是数轴上的点}，集合B＝R，对应法则f：数轴上的点与它所代表的实数对应；②集合A＝{P

9、P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)

10、x∈R，y∈R}，对应法则f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A＝{x

11、x是三角形}，集合B＝{x

12、x是圆}，对应法则f：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A＝{x

13、x是新华中学

14、的班级}，集合B＝{x

15、x是新华中学的学生}，对应法则f：每一个班级都对应班里的学生．解析：由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A到集合B的映射．答案：①②③4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[做一做]4．若函数f(x)＝则f(f(10))＝________.解析：f(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.答案：2必明辨的2个易错点

16、(1)对相等函数的概念理解不清致误．(2)对分段函数意义理解不清致误．[练一练]1．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a<1,1＋a>1，没有对a进行分类讨论直接代入求解．(2)求解过程中忘记检验所求

17、结果是否符合要求致误．答案：－2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y＝；f2：y＝1.(2)f1：y＝f2：xx≤11