第二讲函数及其表示(教师)

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1、第二讲函数及其表示教学目标：1、了解构成函数的耍素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2、会根据需要选择恰当的方法表示函数。3、了解分段函数，并能简单应用。教学过程：一、知识点总结1、函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A屮的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数'（X）和它对应，那么就称A-B为从集合A到集合B的一个函数，记作：x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域,y叫函数值,y的取值范围C={f（X）

2、xeA}叫做函数的值域，且C^B。说明：①函数首先是

3、两个数集之间建立的对应关系②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f,都冇唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数Z间的“一一”对应或“多一”对应③认真理解y=/M的含义：y=/M是一个整体，fM并不表示f与X的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格；y=f（x）如同一个加工厂,把输入的数X,按照某种加工过程（如解析式、图彖或表格），加工成另外一个数值y。④耍强调定义域，值域都是一个集合，且值域是集合B的子集。2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则。3、区间的概念：闭区间：满足不等式a

4、的集合叫做闭区间，表示为［Q,们；开区间：满足不等式ci

5、么就称对应f：ATb为从集合A到集合B的一个映射(mapping),记作“f：A^B”说明：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的。其小f表示具体的对应法则，可以用汉字农示出來。(2)“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。二、典型例题讲解知识点一：函数的概念f(X)=——(XGR，八/、2c/例1.己知1+X且X去T),g(x)=x~+2(xwR)。(1)求f(2),g(2)的值；(2)求f[g(2)]的值；(3)求f[gS)l和g[『(兀)]的解析式。

6、思路分析：1)题意分析：本题给出了两个函数解析式，第一问是给出了H变量，求函数值；第二问是把巩2)作为”的白变量，第三问是把g⑴和/⑴分别作为“/”和“g”的白变量。2)解题思路：按自变量的取值代入函数式求之即可。119f(2)=-—=-,g(2)=22+2=6解答过程：(1)1+23ovg(2)=6,.*f[g(2)]=f(6)=-^-=

7、(2)1+67o1_1(3)f[gG)]=f(x2+2)=1+/+2x2+3o11g[/*(x)]=g(1+x)=(1+x)2+2o解题后的思考：求函数值时，要正确理解对应法则“f”和“

8、g”的含义；求f[g(x)]时，应先求£(X),然后将f(x)解析式中的X换为g(x),同时要注意函数的定义域。【变式练习】己知)'=/(兀)的定义域为[一口],求下列函数的定义域:思路分析:1）题意分析：区间〔一口］是函数>'=/（兀）屮的x的取值范

9、札函数.x的定_“1、1义域是X中的X的取值范围，它由X的取值范围來确定，第二问可同理解决。丄2）解题思路：解决本题关键在于理解“兀”和“扌”的取值范围就是［-1」］。-1<—<1解答过程：（1）•・•）'=/（X）的定义域为［一1，1］・・・X—<1y-/（—）即Z解得M—

10、1或宀1因此兀的定义域为（-°°，-l］U［l,+oo）。⑵・・・y=/（x）的定义域为【一口］,・・./（/）屮的x必须满足-is*i,Z.X2<1,

11、X

12、<1,.-.-1

13、x

14、

15、知于（兀+1）,求于⑴2）解题思路：换元法解答过程：令r=x+l,则兀=/-1,••-/（O=2（^-1）2+1=2r2-4r+3o/（x）=2x2-4x+3解题后的思考：凡是已知/现（兀）］,求/（兀）的题型，均町用换元法求解，在换元的过程屮要注意新元的取值范围。【变式练习】若2/⑴一/