_线性代数课后答案__胡显佑

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1、习题二（A）4．解:1)2)上式表明:三个在2003年,2004年生产四种油品的总产量.上式表明：三厂在2004年生产的四种与2003年相比的增加量.3)上式表明三厂在2003年、2004年生产四种油品的平均产量.7．求所有与A可交换的矩阵：（1）；（2）.解：1)设,则XA=AX得a=db=02)设,则得8．设矩阵A与B可交换.证明：（1）；（2）.解：1)2)12解：1)2)总价值为1810,总重量为191.8,总体积为195613．设A为n阵对称矩阵，k为常数.试证kA仍为对称矩阵.证明:设,则则kA为对称矩阵14．（1）证明：对任意

2、的m×n矩阵A，ATA和AAT都是对称矩阵.（2）证明；对任意的n阶矩阵A，A+AT为对称矩阵，而A-AT为反对称矩阵.解：1)证明:都是对称矩阵2)为对称矩阵则为对称矩阵15．设A、B是同阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.解：17．设n阶矩阵A可逆，且detA=a，求，.解：∴18．证明:19．已知n阶阵A满足.求证：A可逆，并求A-1。解：∴20．解：1)21．解：22证明:∴23．解：1)2)24．解：1)2)25．.解：1)2)3)4)26．解：1)∴27．解：1)2)28．解：29．解：∴∴30．解：∴（B）

3、3．设矩阵，求矩阵X，使得.解：∵detA=70∴4．解：∴5．设A为n×1矩阵，矩阵.试证B为对称矩阵.如果A=(1，-1，2)T，求B.解：证明则B为对称矩阵当A=(1，-1，2)T时6．设A，B为同阶矩阵，且.证明A2+A当且仅当.证明：7．解：1）设则＝tr(A)+tr(B)2）3）4）8．设A为实对称矩阵，且A2=O，则A=O.证明：设其中，则9．设A为奇数阶反对称矩阵，则.解：10．设A、B、C为同阶矩阵，且C为非奇异矩阵，满足.求证：解：11．已知A，B和A+B均为可逆矩阵，试证也可逆，并求其逆矩阵.可逆12．证明：如果A是非

4、奇异对称矩阵，则A-1也是对称矩阵.证明：∵A-1也是对称矩阵.13．解：1）2）反证，若A可逆，则detA=detE-detaaT=1-detaaT=1-detaaT≠0即detaaT≠1与条件矛盾。14．证明：1）A+B=ABA-E-（AB-B）=-EA-E+（E-A）B=-EA-E）（E-B）=-E(A-E)(E-B)=-E∴A-E可逆2）当时，由得15．设A，B，C均为n阶矩阵，如果.求证.解：16．解：AXA+BXB=AXB+BXA+EAXA-AXB+BXB-BXA=EAX(A-B)+BX(B-A)=EAX-BX）（A-B）=E1

5、7．解：18．解：19．解：1）2）习题三（A）1．用消元法解下列线性方程组：解：.1)2）∴无解3)4)5）（,均为任意常数）6）2．解：1°当a=-3时，无解2°当a=2时，无穷多解（c为任意常数）3°当a≠2且a≠2-3时，唯一解3．解：1°当a≠时，唯一解2°a=5，b≠-3时，无解3°当a=5且b=-3无究多解（c为任意常数）4．解：时，方程组有非零解（c为任意常数）6．.解：则7．解：1)则2)则不能由线性表示3）则(c为任意常数)8．解：1°当时，不能由线性表示2°当且时，可由唯一性表示3°当时，表示法不唯一9．解：1)无关2

6、）3＜3，相关3）无关10．已知向量.试求a为何值时，向量线性相关？线性无关.解：1°当即a=-2或a=3时，线性相关2°当即a≠-2且a≠3时，线性无关11．设线性无关，又.证明：向量组线性相关.解：设因为线性无关，则（c为任意常数）则线相关12解：1）由得2）等价，因为和可以互相线性表示13．设n维向量组.试证：向量组与n维基本单位向量组等价.解：因又即和，，，可以互相线性相示，则它们等价.14．证明：如果n维基本单位向量组可以由n维向量组线性表示，则向量组线性无关.解：因为，和可以相互相线性表示，则它们等价.所以，线性无关.15解：1

7、)，为一个极大无关组，且2），，为一个极大无关组，且=-3），，为一个极大无相关组，且=5+2-2=-++16．求下列向量组的秩：解：1)r(，，,,)=22)(，，,,)=317．解：1）三阶子式2）二阶子式18．解：1)r=22）r=319．解：设故它们为20．解：由线性无关(Ⅱ)=3知线性相关,即可由线性表示(Ⅲ)=4知线性无关则可由线性表示的秩为421．解：1)基础解系:通解为2）基础解系:通解为3）基础解系:通解为4)基础解系:通解为22．解：1）=c(-3,0,1,）T +(11,-4,1,0）T(c为任意常数）2）   (c

8、1,c2为任意常数）3）=c1(1,0,-1,1,0）T+c2(1,0,0,0,1）T+(0,0,2,0,0）T(c1,c2任意常数）4）=c1(-2,1,1,0）