线性代数课后作业答案(胡觉亮版).doc

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1、第一章1．用消元法解下列线性方程组：（1）解由原方程组得同解方程组得方程组的解为令，得方程组的通解为，其中为任意常数．2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（2）．解，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）解，得方程组的解为．（2）解，得方程组无解．第二章1.（2）．解原式．（2）．2.解原式3.（2）．解原式．（5），其中．解原式4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）．解原式．（3）．解原式．7．设，试求和．解；．8．利用克拉默法则解下列线性方

2、程组：（1）解经计算，得，所以方程组的解为．9．试问取何值时，齐次线性方程组有非零解．解方程组有非零解，则．又，所以．第三章2．设矩阵．（1）计算；（2）若满足，求．解（1）；（2）．3．设有3阶方阵，，且，，求．解　　　．4（5）．解原式．（6）．解原式．5．已知矩阵，．求：（1）与；（2）与.解（1），；（2），．8．已知矩阵，，令，求，其中为正整数．解．9．若为阶对称矩阵，为阶矩阵，证明为对称矩阵．证因为，所以为对称矩阵．10.（2）．解，又，所以．14．设阶方阵满足，证明可逆，并求．证由，得，即，所以

3、可逆，且．16．已知为三阶方阵，且，求：（3）．（3），有原式．20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）．解将矩阵进行如下分块：，则．又，所以．21．设矩阵，利用分块矩阵计算．解将矩阵进行如下分块：，则．又，所以．22．设矩阵，利用分块矩阵计算．解将矩阵进行如下分块：，则，所以．24.（2）．解，所以可逆，且．25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）．解，所以．26.（2）．解．29．设是矩阵，且的秩为，而，求．解，则．33．试问取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．（1）解方

4、程组的系数行列式．当，即且时，方程组有唯一解．当时，．因为，所以方程组无解．当时，．因为，所以方程组有无穷多解．第四章2．求解下列向量方程：（1），其中．解．4.（3），，．解．因为，所以该向量组线性无关．（4）．解．因为，所以该向量组线性相关．7．若向量组由向量组线性表示为试将向量组由向量组表示．解由解得11．求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示．（1）．解，所以，本身为一个极大无关组；（2）．解，所以，为一个极大无关组，且，．（3）．解，所以，为一个极大无关组，且，．1

5、4．设为矩阵，证明：当且仅当．证必要性显然，下证充分性：．设为的任一列向量，则，所以．由的任意性知．19.（2）解由，得令，得方程组的一个基础解系，，通解为，其中为任意常数．20.（2）解方程组的增广矩阵，因为，所以方程组有无穷多解，且令，得通解为其中为任意常数．第五章1.(5)．解的特征多项式，所以的特征值为，，．当时，解特征方程组．由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为．当时，解特征方程组．由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为．当时，解特征方程组．由，得令，得

6、属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为．（6）．解的特征多项式，所以的特征值为．当时，解特征方程组．由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为不全为0．当时，解特征方程组．由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为．5．已知3阶矩阵的特征值为，求及的伴随矩阵的特征值．解令，则的特征值为．又，则特征值为．9．已知，，且与相似，求常数．解显然的特征值为．与相似，则的特征值为．由，解得．10．已知矩阵与矩阵相似，求常数与．解与相似，则．（1）又，由，得，代入（1）式，得

7、．所以．11．设矩阵．问为何值时，矩阵可相似对角化．解显然的特征值为．对，可相似对角化．由，得．13.（2）．解的特征多项式，则的特征值为．当时，解方程组．由，得，所以与对角矩阵相似，且．令，得属于特征值的线性无关的特征向量为．当时，解方程组．由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为．令，则．（3）．解的特征多项式，则的特征值为．当时，解方程组．由，得，所以与对角矩阵相似，且．令，得属于特征值的线性无关的特征向量为．当时，解方程组．由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为．令，则15．设3阶方阵有特征

8、值，对应特征向量依次为，求．解有3个不同的特征值，则能相似对角化．令，则，有．又，所以21．试求一个正交矩阵，使为对角阵：（1）．解的特征多项式，则的特征值为．属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得．属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得．属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得．令正交矩阵，则．（3）．解的特征多项式，则的特征值为．属于特征值的线性无关的特征向量为；正交化，得；单位