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1、基于数学史的初中数学问题提出课例分析作者：丁倩文/汪晓勤作者简介：丁倩文，汪晓勤，华东师范大学教师教育学院（200062）.原文出处：《中学数学月刊》（苏州）2018年第20183期第页内容提要：对15个已开发的初屮HPM课例进行统计分析，发现共有41个基于数学史料提出的问题•提出这些问题的策略有自由设问、直接采用、改变情境、条件操作和对称互换，其中以自由设问为主；教师主要将其用于引入和探究环节•教师在数学史料的研究和搜集、问题提出策略的灵活运用上述有很大的提升空间.期刊名称：《初中数学教与学》复印期号：2018年06期关键词:数学史/初中数学/问题提出/课例分析数学史与数学教育之间的
2、关系（HPM）是数学教育的重要研究领域之一,而HPM视角下的数学教学实践研究是HPM领域最主要的工作之一[1].近年来，越来越多的大、中、小学教师对HPM产生了浓厚的兴趣[2],相关的课例也日益增多.在这些课例中，数学史融入教学的方式可分为附加式、复制式、顺应式和重构式四种.除了附加式以外,其他三种方式都与数学问题提出息息相关.所谓"问题提出"，是指在给定的情境下编制新的问题或在解决问题过程中对问题进行改编[3].已有研究表明，关于问题提出的一个重要研究方向是探索教师和学生能够提出什么样的问题[4].在一节数学课中，引入、探究、例题、练习诸环节都离不开数学问题,好的数学问题往往是成功的
3、关键•另一方面,教师通过让学生参与问题提出活动,可以更好地了解学生对知识的理解情况，但这样的活动要求教师自己具备较好的问题提岀能力[5],并且能够创设出适合学生提出问题的情境[6].因此，教师需要掌握相关的素材以及根据这些素材提出新问题的策略.历史上的数学问题浩如烟海，为数学教学提供了丰富的素材•但历史问题并非都可以直接用于课堂教学，需要经过裁剪和加工；同时，很多历史材料本身并非数学问题，但往往可以成为教师提出新问题的背景或出发点•那么,在已有的初中HPM课例中,教师在提出数学问题时,究竟运用了哪些数学史素材？又采用了哪些策略来提出问题？本文试图通过课例分析来回答上述问题.二、课例的选
4、取本文选取2014~2017年这四年间发表的15个初中HPM课例作为硏究对象[7・21].这些课例的课题主要涉及代数和几何两个领域，对应的内容有数与式、方程与不等式、函数、图形的认识、图形与变换、图形与坐标以及图形与证明.所有课例都是由高校研究者和中学一线教师合作开发,具体流程见图1.课例的设计遵循趣味性、可学性、科学性、新颖性和有效性五项原则，都以体现探究之乐、知识之谐、方法之美、文化之魅、德育之效为目标.从课型上看，它们都是新授课课例的选择标准是其中包含基于数学史料提出的数学问题.三、基于数学史料的问题提出策略已有的研究表明，问题提出的策略有条件操作、目标操作、对称互换和新旧链接四
5、种［22］根据数学史料来提出新问题,当史料本身为一个数学问题时,所用策略或为直接采用,或为改变情境（不改变条件和目标）,或为上述四种之一,所提岀的问题分别称为再现式问题、情境式问题、条件式问题、目标式问题、对称式问题和链接式问题.当一则史料不是某个数学问题,而是一个命题、一个故事、一段史实等时，需要根据教学需要来选择问题的条件和目标，此时所用策略不符合上述策略中的任］可一种，称为自由设问策略，所提出的问题称为自由式问题.当史料为一个数学问题时，也可能使用自由设问策略来产生新问题•下页表1总结了基于数学史的问题提出策略和相应的例子.四、各课例中的数学史问题在我们考察的15个课例中，共发现
6、41个基于数学史料提岀的数学问题（简称基于数学史的问题或HBP），这些问题分为再现式、自由式、情境式、条件式和对称式五类，各类型的分布如图2所示.由图2可知，41个问题中绝大多数为自由式问题，其次为再现式问题，其他类型的问题很少.1.再现式问题共有6个课例采用了再现式问题.课例"分数指数犀〃［7］采用了欧拉《代数基础》中的问题：将―和―^成指数同为的幕.课例〃平方差公式〃［8］直接采用了古希腊数学家丢番图（Diophantus,3世纪）《算术》中的问题：已知两个正数的和为20,积为96,求这两个数•丢番图利用〃和差术"和平方差公式来解决•课例〃字母表示数"[9]采用了丢番图《算术》中的
7、另一个问题：已知两数的和与差，求这两数该问题要求学生用字母表示已知的和与差.课例"一次方程组的应用〃[10]直接采用了意大利数学家斐波那契（LFibonacci,13世纪）《计算之书》中的问题:"若甲得乙之7第纳尔，则甲的钱是乙的5倍;若乙得甲之5第纳尔，则乙的钱是甲的7倍.问：甲、乙各有多少钱？"和程大位（1533-1606）《算法统宗》中的问题："隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤•试问各位善算者，多少人分多少银
