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1、基于数学史的高中数学问题串初探作者：马艳荣/汪晓勤作者简介：马艳荣，汪晓勤，华东师范大学教师教育学院.原文出处：《中学数学教学参考》（西安）2018年第20184±期第7-10页内容提要：“基于数学史的数学问题串”，是指以相关数学史料为主线，紧扣数学教学目标，运用一定策略提出的一系列具有内在联系、构成一个整体的数学问题•文章以轨迹问题串、均值不等式问题串、三角公式问题串为例阐述了基于数学史的问题串设计思路.期刊名称：《高中数学教与学》复印期号：2018年08期关键词:数学史/高中数学/问题串标题注释:【基金项目】本文系上海市教育科学研究
2、重大项目“屮小学数学教科书的有效设计”子课题“屮小学数学教科书屮数学文化素材的案例设计”（项目号：D1508）系列论文Z实践表明，将数学史融入数学教学，离不开基于数学史料的数学问题的提岀.由于数学教师所掌握的历史材料十分有限，问题提出的策略较为单一，因此，在已有的HPM课例中,相关数学问题并不丰富，问题的质量也有待改善；这些问题往往只出现在引入或探究环节，之后便悄然谢幕了，毫无系统可言，数学史的教育价值难以得到最大程度的发挥数学问题串的运用是改变这种状况的途径之一.所谓〃基于数学史的数学问题串"（简称HPM问题串），是指以相关数学史料为
3、主线,紧扣数学教学目标,运用一定策略提岀的一系列具有内在联系、构成一个整体的数学问题.在课堂上，HPM问题串为学生提供了〃再创造"的机会，有助于他们在探究中经历知识的发生发展过程,形成较为完整的知识体系,获得数学活动的经验，体验〃探究之乐"，感悟数学活动的本质.教育部《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求〃充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用"，并提出"在数学试题中增加数学文化的内容"，因而基于数学史的高考试题日益受到人们的关注，但这些试题所涉及的历史材料较为有限，问题提岀的策略十分单一[1].鉴于此,本文拟对基于数学
4、史的问题串设计作一初步探讨.二、基于数学史料的高中数学问题串1•轨迹问题串古希腊数学家硏究过大量的轨迹问题.他们将轨迹分成平面轨迹（直线和圆）、立体轨迹（圆锥曲线）和线轨迹（直线、圆、圆锥曲线以外的曲线）三类.阿波罗尼奥斯（Apollonius,公元前3世纪）在《平面轨迹》中研究了大量的平面轨迹，如〃与两直线等距的点的轨迹"•帕普斯（Pappus,公元3世纪末）在《数学汇编》中硏究了一类新的轨迹问题[2],即：三线轨迹：到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.四线轨迹：到两条已知直线距离的乘积与
5、到另两条已知直线距离的乘积之距离比等于常数(不等于1)的动点轨迹为圆锥曲线.帕普斯还提岀更一般的"n线轨迹〃问题，当时，古希腊的几何方法就无能为力了丄7世纪，法国数学家费马(P.deFermat,1601-1665年)和笛卡儿(R.Descartes,1596-1650年)正是在研究古希腊"n线轨迹"问题时发明了解析几何.为了让学生经历解析几何的产生过程,在〃曲线与方程”一节课中”可以设计以下问题串.问题1:在平面上,到一条定直线的距离相等的点的轨迹是什么?问题2:平面上，与两条已知直线等距离的动点轨迹是什么?考虑两条直线平行或相互垂直
6、两种情形.问题6:如图4所示，在问题5中,若动点P到I距离乘积与到的距离乘积之比等于2,求动点P的轨迹.教学实践中，上述问题串中的部分问题已为石和飞老师所采用⑶.将《几何原本》命题1.31(过已知直线外一点，作一直线与已知直线平行)改编为〃一线轨迹〃问题，依次增加已知直线的数目,相继得到古希腊的二线、三线和四线轨迹问题；在三线和四线的情形中，又根据两种不同的比值分别提出问题，各问题构成了一个完整的问题串.2均值不等式问题串《几何原本》第6卷命题13给岀了求作两条已知线段的比例中项的方法[4]:如图5,设AC,CB是两条已知线段，它们在同
7、一条直线上，在AB上作半圆ADB,在点C处作AB的垂线CD,交半圆周于点D,则CD就是所求的几何中项.根据上述命题，我们可以设计以下均值不等式问题串.问题1：如图5,0D是半圆ADB的半径，即AC和CB的算术中项.试比较算术中项和几何中项的大小•当AC二CB时，两者有怎样的关系？问题2:设AC二a,CB=b，则AC,CB的几何中项与算术中项的大小分别为,我们也把—别称为正数a和b的几何平均数与算术平均数.根据问题1的结论,很容易得到两个正数的几何平均数与算术平均数的大小关系.根据图5，你能用代数方法证明两者的大小关系吗？它们何时相等？问
8、题3:在数学上，我们将称为正数a和b的调和平均数.在图5中，作CE丄0D,垂足为E,如图6所示证明DE的长度为a和b的调和平均数.从图6中你能得出a和b的调和平均数与几何平均数之间的大小关系吗?问题4:根据
