第十讲幂函数及图象变换

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1、第十讲幕函数及图象变换【学习目标】1.通过实例，了解幕函数的概念；结合幕函数的图象，了解它们的变化情况.2.掌握幕函数的图彖和性质，并能熟练运用图彖和性质去解题。3.掌握初等函数图彖变换的常用方法.【要点梳理】要点一、幕函数概念：形如y=xa(aeR)的函数，叫做幕函数，其中Q为常数.要点诠释：幕两数必须是形如『=*(&$/?)的两数，幕函数底数为单一的白变量x,系数为1,指数为常数.例如:y=3x4,y=%2+1,y=(x一2)2等都不是幕函数.要点二、幕函数的图象及性质1•作出下列函数的图象：丄(1)y=x；(2)y=x2；(3)y=x2；(4)y=x_l；

2、(5)y=x3.要点诠释：幕两数随着Q的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幕函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)q>0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间［0,+8)上是增两数.特别地，当Q>1时，幕函数的图象卜•凸；当0

3、)若幕函数的定义域为(0,+OO)或［0,+8),作图已完成；若在(―,0)或(-OO,0］上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出笫二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幕函数解析式的确定⑴借助幕函数的定义，设幕函数或确定函数屮相应量的值.(2)结合幕函数的性质，分析幕函数中指数的特征.(3)如函数f(x)=k-xa是幕函数,求/(切的表达式，就应由定义知必有k=l,即f(x)=xa.4.幕函数值大小的比较⑴比较函数值的人小问题一般是利用函数的单调也当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较.常称为“搭桥”法

4、.(2)比较幕函数值的大小，一般先构造幕函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小.(3)常用的步骤是：①构造幕函数；②比较底的大小；③山单调性确定函数值的大小.要点三、初等函数图象变换基木初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幕函数、指数函数、对数函数.(三角函数、反三角函数待讲)由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数.(1)平移变换尸尸f(x+m)y=f{x)尸f(x)+b(2)对称变换y=f(x)—尸f(—/),如/(X)=X2的图彖变换，y=(X+1)2,y=/+1，y=2兀2,y=

5、X

6、2图彖左(。

7、>0)、右(qvO)平移图象上(b>0)、下(b<0)平移图象关于y轴对称尸f3-尸一代方，图象关于/轴对称图象关于原点对称y=f(x)->y=f~x)图彖关于直线尸x对称(3)翻折变换：y=fU-尸f(

8、”)，把y轴右边的图彖保翩，然后将y轴左边部分关于F轴对称.(注意：它是一个偶函数)尸fd)-尸

9、f(0

10、把无轴上方的图象保留，才轴下方的图象关于x轴对称要点诠释：(1)两数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。(2)若f{a—x)=f{a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线a=q对称。【典型例题】类型一、求函数解析式例1.已知y=(〃『+2加

11、一2)•兀宀+2斤一3是幕函数，求加、〃的值.举一反三：【变式一】判断下列函数冇哪些是幕函数？__21(1)y=yJ2x；(2)y=3x2:(3)y=x3-x；(4)y=x3；(5)y=—；(6)y=3・•对类型二、幕函数的图彖3232311例2.给定一•组函数的解析式：®y=x4；®y=x3；@y=x2；®y=x3；@y=x2；©y=x3；⑦y=0,如右图的一组函数图象请把图彖对应的解析式序号填在图彖下而的括号内.举一反三:(>O1-vyk)£【变式1】已知帚函数y=的图象如图所示，则()Xp,q均为奇数，且虫〉0B.g为偶数，p为奇数,且£<0C.g为奇数，

12、"为偶数，且必>0D.g为奇数，p为偶数,且£<0qgA类型三、幕函数的性质例3.比较下列各组数的人小.5_5（1）3.14与BC3_3（2）（-迥门与y举一反三：【变式1】比较0.8°5,O.905,0.9-05的大小.类型四、求参数的范围例4.讨论函数y=（/+厂兀八-21在兀＞（）时，随着兀的增人其函数值的变化情况。举一反三：【变式1】若（。+1『＞（3-2°广，求实数a的取值范围.类型五、幕函数的应用例5.求出函数f(x)=n+5的单调区间，并比较/•(-龙)为/(-返)的大小。厂+4兀+42]举一反三：【变式1】讨论函数=右(加wNj的定义域、奇偶性和

13、单调性.类型六、基本初等