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1、第三讲 幂函数与函数的图象变换重点难点重点：①幂函数的定义、图象与性质．②函数图象三种基本变换规则．难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系．②利用基本变换规则作函数图象知识归纳一、幂函数的定义和图象1．定义：形如y＝xα的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，，－1,0，－，－2时的幂函数2．图象：(只作出第一象限图象)幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：α＝α<00<α<1α>1p、q都是奇数p为奇数，q为偶数p为偶数，q为奇数3.性质：(1)当α>
2、0时，幂函数图象都过点和点；且在第一象限都是函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的．(2)当α<0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．(0,0)(1,1)增直线(1,1)减二、函数的图象与图象变换1．画图描点法①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；其次列表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)，最后描点，连线．图象变换
3、法(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移
4、a
5、个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移
6、b
7、个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．⑤y＝
8、f(x)
9、的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对
10、称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．⑥y＝f(
11、x
12、)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象．(3)伸缩变换①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到．2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、
13、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．5．有关结论若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象
14、关于直线x＝a成轴对称图形；误区警示1．对于函数y＝
15、f(x)
16、与y＝f(
17、x
18、)一定要区分开来，前者将y＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y≥0.比如y＝
19、sinx
20、与y＝sin
21、x
22、.2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.一、数形结合的思
23、想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质，应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．二、图形变换方法作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征．[例1](1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求m的范围．(2)比较大小：0.80.
24、7与0.70.8.解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1，∴0.71.3<1.30.7考察幂函数y＝xm由(0.71.3)m<(1.30.7)m知y＝xm为(0，＋∞)上的增函数，∴m>0.(2)指数函数y＝0.8x是减函数，∴0.8
