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《35函数的极值与最大值最小值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1-求下列函数的极值:(1)y=兀‘+3兀〜—24兀—20；【解法一•】应用一阶导数判别法函数)；=_?+3兀2一24x_20的定义域为(_8,4-00),由｝?=3x2+6x-24=3(x+4)(%一2)得函数有两个驻点x=-4和兀=2,无不可导I1f八、、丫x-2--+x+4-
2、+
3、+作图表分析：了>y'+-+y可知，函数y=x3+3x2-24x-20在x=-4处有极大值y(-4)=(-4)3+3(-4)2一24(-4)-20=60,在x=2处有极小值y(2)=23+3x22-24x2-20=-48o【解法
4、二】应用二阶导数判别法函数y二疋*3兀2一24x一20的定义域为(-oo,+oo),由卩=3/+6x-24二3(x+4)(x一2)得函数有两个驻点x=-4和x=2,无不可导I1f八、、丫因为y”=6x+6,有y”(一4)=6(—4)+6v0,y”(2)=6x2+6>0,可知，函数y=x3+3x2-24x-20在x=-4处有极大值y(-4)=(-4)3+3(-4)2一24(-4)-20=60,在x=2处有极小值y(2)=23+3x22-24x2-20=-48o(2)4)^/(x+1)2；【解】函数》'=(兀_4)
5、&(兀+1)2的定义域为(--+OO),±2--5(x_l)由W=(x+])3+(x_4)—(兀+1)3二—得函数有一个驻点兀=1和一个一阶33(x+l)W不可导点兀=一1,x-1--+兀+1-
6、+
7、+作图表分析：i>y'+-+y可知，两数〉,=(兀—4)仏+1)2在x=—1处冇极人值y(—1)—(一1-4)#(-1+1)，=0,在兀=1处有极小值y(l)=(1—4)导(1+1)2=-3^4。(由于函数y=(x-4)V(x+l)2有不可导点，故不可使用二阶导数判别法)(3)y=exsinx；【解】函数y=exs
8、inx的定义域为(-00,4-00),由y'=ex(sinx+cosx)=sin(x+—),得函数有驻点x=k/r-—(keJ),44无不可导点，又因y"=2excosx,而当角度兀落在第四彖限时，cosx>0,当角度兀落在第二彖限时，cosx<0,因此，应将驻点x=k/r--(kwJ),分为两类：47FX=2k7T一一(kwJ)(第四象限角)4^x=(2k+1)7T--=Zk7V+—(keJ)(第二象限角)，44由于当x=2k7U--时,得yX2k7T--)=2e2k^cos(2k/r--)>0(kwJ),4
9、44当X=+竺时，得y+—)=2e2^+Tcos(2k兀+—)<0(keJ),4^44可知，两数y=exsinx在x=2k兀(keJ)处47T2kjr——IT2kjr~—有极小值y(2k7i-^)=e°sin(2眩一亍)=一冷-04(keJ),&x=2k7T+—(kwJ)处43兀2k龙+竺3兀yFl2k^+—有极人ffiy(2^^+—)=6>4sin(2Z：jr+—)=—e4(kwJ)°"442(课本后附答案将全部极值错认为只是极小值)(由于函数y=Qsin兀有无数个驻点，将定义域划分成无数个区间，阳在这些区间
10、上判别导数符号比较麻烦，因此木题中不便于应用-•阶导数判别法。)Wy=x+ln(l+x)；【解】函数y=x+ln(l+x)的定义域为(-1,+8),1r+2由卩=1+——=——得知函数无驻点，也无不门J导点,1+X1+兀易见，当兀>一1吋，y'>0,可知，函数y=x+g(i+x)是单调函数，无极值。(5)y=tanx-x；JT【解】函数y=tanx-a:的定义域为兀工£龙+—(kwJ由y'=—1>0(因为cos2x<1)]R成立,・2cosX可知，函数y=Vanx-x是单调函数，无极值。【解】函数y=i-/Li
11、_-L的定义域为(-oo,0)u(0,+oo),•yX由于)『=丄；3=—^>o恒成立,•33畅可知，函数y=l-x3是单调函数，无极值。2.求下列函数的最值:(l)y=2/—_1心+11,兀w[—2,4]；【解】因为y'=6x2-12x-18=6(x-3)(x+l),得函数在区间(-2,4)上有驻点兀=-1和兀=3,无不可导点,于是，计算驻点值与边界值：y(—2)=2(—2)3-6(-2)2-18(-2)+11=7,)，(_1)=2(-1)3-6(-1)2-18(-1)+11=21,y(3)=2x33-6x3
12、2-18x3+11=-43,y(4)=2x43-6x42-18x4+ll=-29,对比易知，函数y=2x3-6x2-18x+ll在［一2,4］上有最人值21,最小值一43。2(2)y=^-(x2-l)5,xg[0,2]o2-11二【解】因为》二宀尹1)5=2[^/(x2-!)2-x^[x]3疾/(宀if令伙兀2_1)2_兀心二°,即(兀2一1)2“,解Z得兀=得函数在区间(0,2)上有
