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1、高中数学经典错题深度剖析及针对训练第24讲:导数的概念及运算【标题01】对导数的概念没•有理解透彻【习题01】设/（兀）是可导函数，且lim/（兀0一2心）-/（勺）=2,则fx）=（）.mtoAxA.2・B.-1C.0D.-2【经典错解】lim/（X°~2Ay）~/（%0）=/z（x0）=2所以广（兀0）=2,故选A.【详细正解】lim盛曲二如—lim心厂2心）-/此）2/©。）二2心toArwo-2Ar'所以/（x0）=-l,故选B.【漆度剖析】（1）经典错解错在对导数的概念没有理解透彻,2）函数览0在兀=兀处的导数/（^）=/==吨/（兀+节）-/（尬,分
2、子是函数值的増量，分母是自变量的増量，它们是对应的.原题自变&皿AxAx量的增量是-2&,所以要利用极限的运算先化简,恤鸟_2g_心—lie/（兀-"X）-/（兀）=_2f（兀）再计算.Ax-2Ax'【习题01针对训练】若/（x0）=-3,则恤/（兀°+"）一/代一引"=（）"tohA・—3B.―6C•-9D.—12【标题02】商的导数的求导法则记忆错误（X—2）2【习题（）2】己知函数/（x）=—-—,则/（兀）的导函数/z（x）=.x+1rz-zdhA+t^i
3、“、x2—4x+4仃1x（x2—4x+4）-（x+l）（2x—4）-x2-2x+8【经典错解】由用）
4、=-^,得/“（卄02=（x+1）3【详细正解】由f（x）=x2—4x+4得f(x)=(24)x(x+l)—(x2—4x+4)x1(x+1)2x2+2a8(x+l)?//【深度剖析】（1）经典错解错在商的导数的求导法则记忆错误.（2）商的导数公式是（-Y=Liv~uv,很多VV*-//同学容易记成（-/=v11-vu,主要是分子记错，分子应该是“子导母不导减去母导子不导”.V芮a]n兀h【习题02针对训练】已知函数/（兀）=竺怛+匕，曲线y=/（x）在点（1,/（1））处的切线方程为x+1Xx+2y-3=0,求a、b的值.【标题()3】对复合函数的定义和复合函数的
5、求导法则没有理解透彻【习题03】求函数=e'xsin2x的导函数.【经典错解】由题得=e~xsin2x+e~scos2x=e~x(sin2x+cos2x)=sin(2x+—)4【详细正解】由题得fx)=(-e_A)sin2x+(e~A•2cos2x)=e~x(2cos2x-sin2x)【深度剖析】(1)经典错解错在对复合函数的定义和复合函数的求导法则没有理解透彻-(2)部分同学误认为(Ry=R-(^-xyx(sinx)F=cosxJ.(sin2x)r=cos2x，他们只是一个简单的类比，他们不知道/(x)=^W(x)=sin2x都是复合函数,必须按照复合函数的求
6、导法则进行运算,(厂)，=-e-x(sin2x)r=2cos2x【习题03针对训练】求函数/(x)=(5x-4)3cos2x的导函数.【标题04】求切线方程时没有准确判断点Q是否在曲线上【习题04】求y=2x2+3在点P(l,5)和2(2,9)处的切线方程.【经典错解】・・・，=2冲+3,・・・；/=4上・・・川4］二4,，即过点P的切线的斜率为4,故过点P的切线为y=4x+l・过点Q的切线的斜率为8,故过点Q的切线方程为：)一9二8(—2))即8x-y-7=0【详细正解】Ty=2x2+3,・，・y"=4x./.日=4即过点P的切线的斜率为4,故切线为y=4x+l
7、.设过点Q的切线的切点为T(x0,y0),则切线的斜率为4%,又二？，故2xo~6=4xQf必-2勺-2•••2x02一8兀°+6=0./.xQ=1,3・即切线QT的斜率为4或12,从而过点Q的切线为y=4x—l或y=12x—15.【深度剖析】（1）经典错解错在求切线方程时没有准确判断点Q是否在曲线上.（2）点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y在x=l处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.要注意所给的点是否是切点.若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标.【习题04针对训练】已知函数/（x）二
8、疋+兀一16•（1）求曲线y=/（x）在点（2,-6）处的切线方程；（2）直线Z为曲线y=/（x）的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标.【标题05】审题错误误认为点P就是切点2【习题05】已知曲线S:y二一一x353535x0=-，则k=二,过点P的切线方程为y=—X./.过点p的断线s的切线方程为y=4兀或y=丄兀888【深度剖析】（1）经典错解错在审题错误，误认为点P就是切点.（2）“曲线在点P处的切线3则点P就是切点，“曲线过点P的切线3则点P可能是切点，也可能不是切点，因为有可能点P在过其它点的切线上，因而所求的切线方程可能不只有1条•此时一般要设
9、切点坐标.
