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《空间向量的数量积运算教案(中职教育)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、空间向量的数量积运算课题：空间向量的数量积运算（人教版普通高中课程标准实验教科书）选修2・1教学目标：知识目标：①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；②运用公式解决立体几何中的有关问题。能力目标：①比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；②探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。情感目标：①通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；②通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数
2、学的热情。教学重点：空间向量数量积公式及其应用。教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。教学方法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；学生学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。课型：新授课教具：多媒体投影仪授课过程：1•复习引入（1尸数量秋'概念提出的背景:如果一个物体在力F的作用下产生位移$，那么力F所作的功W二尸=1尸IIgIcos。,为了在数学中体现”功"的这样一个标量，我们引入了"数量积”的概念.⑵平面向量的数量积定义:我们把GMlcosO叫做向量方与乙的数量积（
3、或内积，点积）记作2/其屮&是顽丙勺夹角,范围是O<0<7T注意：两个向量的数量积是数量，而不是向#.0<<9<—时•歩〉0,—<0<7i22时卫•bvO,&=—吋，=0规定:0・a=02（3）平面向量的数量积的几何意义:数量积打等于方的长度问与站亦勺方向上的投影p
4、cos祁乘积.⑷平面向量的数量积的主要性质:设乔是两个非零向量①alb^>a-b=Q数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件②当d与洞向时,a^b=a-h;当向量a与扳向吋,a・F=-a•b特别地,a-a=a2或2=航用于计算向量的模用于计算向量的夹角2•平面向量数量
5、积满足的运算律①交换律:a^b=b-ci②对数乘的结合律:(加)=A(a•初=a•(Ab)③分配律：(d+5)・C=Q・C+5・CD注意:数量积不满足结合律，即:(°•初・cHd•(方・c)问题：如图，线段AB,BD在平面a内』D丄AB.ACla.AB=a,BD=b,AC=c,求C,DZ间的距离以及异面直线CD与AB所成的角6的余弦值.这时候我们发现平面向量的数量积运算己经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了，这时我们需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度.3•两个空间向量数量积的定义:因为空间任意的两个向量总是共面的，所以
6、对于两个非零向量方总可以在空间中任取一点O,^OA=a,OB=b,从而可知角ZAOB为向量:与励夹角,记作如，初范围：055龙〈以〉=如〉，特别的:仍詣时,则称册互相垂直，并记作波丄方注意:<-OA,OB>==7t-而a5cos〈d,厶〉叫做空间两向量a,空间向量的数量积的几何意义:数量积a•诙于湖长度a与乙在a的方向上的投影bcos〈a/〉的乘积.空间向量的数量积的主要性质:设方必是两个非零向量①。丄boa・b=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件②当d与丽向时卫•厶=•b；当向量d与b反向时
7、、a・b=-a•b特别地,a・a=a或a=^用于计算向量的模③COS〈d,厶〉=a-b—0—aa•b用于计算向量的夹角空间向量数量积满足的运算律①交换律:a-b=b'a②对数乘的结合律:（加）•b=A（a-b）=a-（久初③分配律:(a+b)•c=a•c+b•c注意:数量积不满足结合律，即:G•初匸H2©匚）冋到开头的问题上來如图，线段AB,BD在平面a内,BQ丄AB,AC丄a,AB=ci,BD=b,AC=c,求C.DZ间的距离以及异面直线CD与AB所成的角〃的余弦值.解:因为AC丄a,所以AC丄BD,AC丄A3,乂知3D丄所以Ab
8、BACBD=O,ACAB=O,AB・BD=O,IC5
9、2=c5cD=(C4+Zb+BD)(C4+AB+b5)=IC4I24-lXsi2+IBDI2=tz2+/?2+c所以ICD1=yja2+&2+c2CDAB(CA+AB+BDYAB1CDIIABala2+b2+c2cos0()+6/2+0_aa^la2+/?2+c24a1+b2+c24•空间向量数量积在立体几何中的应用:例1:如图:PO,PA分别是平面a的垂线、斜线,A0是PA在平面Q内的射影,/ua,l丄0A，求证:/丄PA.证明:取直线/的方向向量d,同时取向量P0,O4
10、,因为/丄04,所以04・0因为POLa,且/u&,所以/丄PO,因此PO-a=0,乂因为aa-PA=a(PO+OA)=a-PO+a^OA=0,所以/丄PA•例2:如图:w是平面a内的两条相交直线，如杲/丄加，/丄斤,求证:/丄a.证
