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《第40讲+数列最值的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练+Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第40讲：数列最值的求法【知识要点】一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，乂表现出它的特殊性.有些特殊的方法要理解并记住.二、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等.【方法讲评】方法一函数的方法使用情景比较容易求出函数的表达式解题步骤一般先求出函数的表达式，再利用函数的方法求出数列的最值.【例1】在等差数列⑺”｝中，⑷=io,d=—i,s”为a｝前〃项和,求s”的最大值.丸X-T*21［解析］由题得凡十］+_(”—1)&=伽+_3-
2、1)X(-1)=—片+亍22221?!712所以—牙依一〒尸+二一,・••当x=10或用=11时，取到最大值55.228【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前兀项和可以看作是一个关于斤的二次函数=An2+Bn,利用图像解答.【反馈检测1】设等差数列｛色｝的前n项和为S”，已知冋二12，也>°，%<0,(1)求公差d的取值范圉；(2)指出耳，52，…，中哪一个值最大，并说明理由.方法二数形结合法使用情景比较容易求出数列的通项解题步骤先求数列的通项，再对通项的图像进行研究.【例2】在等比数列｛%｝中，an>0(77eN),公比qe(0,1),且axa5+2a3a5+a2a
3、s=25,色与的等比小项为2.(1)求数列｛匕｝的通项公式;vvS(2)设bn=log2an,数列｛$｝的前〃项和为S”当—+—+•••+—最大时，求况的值.12n/.｛瓦》是以$=4为首项，-1为公差的等差数列.【解析】(1)T405+2砖碍+a讹=25,二皆+却碍+尿=25〉又Qr>0,-■+a,=5〉又用与色的等比中项为2,:.a3a5=4,因为gE(0,1),>a5iJ.=4,=1g=*=16,二咳=16x=2s""(2)bH=log2^=5-n?・心4-瓦=-1>_n(9-h)_~2-二当w<8Ht—>0^当w=90t—=0；当«>9Bt—<0,nnn「一当归或
4、9时牛少少…+牛最犬•(图像如團所示)【点评】(1)等差数列的通项匕可以看作是一个关于〃的一个一•次函数，画出函数的图像，比较直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而得到前多少项的和最大或最小.(2)注意数列｛色｝中，由于a9=o,所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题吋，注意那些“零”项，以免得出错误的结论.【例3]已知数列｛色｝中，、二(nwNj则在数列｛色｝的前n项屮最小项和最大项分别是()A.ax,a5｛｝B.a]9a^C.a^,agD.,a5｛｝【解析】由题得咳=（x_倔）+倔-仍n—^0函数的渐近线为n=和y=,如图所示:大值.【
5、反馈检测2】已知等差数列｛an｝faneN5„=-(^+2)2.若仇=打”一30,求数列｛$｝的前料项82和的最小值.方法三单调性法使用情景数列的单调性比较容易确定解题步骤先求数列的通项，再对通项的单调性进行研究.【例4】己知数列｛。”｝的通项公式6/z/=（«+!）（—）（neN）,求｛%｝的最大值.9【解析】afl=(d+1)(—f9...9.9.-«+8S+i_乞=⑺十2)(—)rt+，_S十1)(—)rt=(—)rt10101010故当0<"<8时，aK+1>aK当”=8时〉@=绳；当XA8时>。曲<咳；所以｛q｝的最犬项为他=绳・OQ9所以耐的最犬值为苏（秸
6、）L話【点评】（1）数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.（2）判断数列的单调性一般有两种方法，方法一是作差判断，如果%-色＞0n｛q｝单调递增；°曲-色＜0=＞｛陽｝单调递减•方法二是作商判断,如果弘＞i（陽＞0）亠血｝单调递增;纽vi（陽＞0）=＞血｝单调递减.【例5】设单调递增函数/（兀）的定义域为（0,+8）,且对任意的正实数有：f（xy）=f（x）^f（y）(1)一个各项均为正数的数列｛色｝满足:f(sn)=/a)+,fa+1)-1其中s„为数列｛%｝的前兄项和,求数列｛色｝的通项公式；⑵在⑴的条件下，是否存在正数i使下列不等式：2"-a
7、｛a2an>M>/2〃+1(2°]一1)(2色-1)(2an-1)对一切nwN*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】⑴打对任青的正数兀、y均有/(xy)=/(x)+/(y)且/(£)=—1X*又V6>0且g=fg+心+1)-1=他)+心+1)+足)□1/(^)=/[(«/X-],又v/(X)是定义在(0,炖]上的单増函数,/.広=+咳)・当H=1B寸，列=丄(卧+4]),・〔卧一牛=0・=1・2当x巴2B寸，加八=2,»—25」=+咳-。心]-?(咳+OzX咳——1)=0•丁冬A0Qr—=1(刃—2)
