第62讲+几何体外接球的半径的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练+Word版含解析

《第62讲+几何体外接球的半径的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练+Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第62讲:几何体外接球的半径的求法【知识要点】求几何体外接球的半径--般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把儿何体放在长方体中，使儿何体的顶点和反方体的若干个顶点重合，则儿何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径r=就是儿何体的外接球半径.如果2已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心0和截面圆的圆心0‘，找到00'、球的半径04、截面圆的半径0%确定的Rt0'A,再解RfAOO'A求出球的半径0A.【方法讲评】方法一模型法解题情景已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解题步骤把儿何体放在长方

2、体中，使儿何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则儿何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径r二丄J/+，+c・2就是儿何体2的外接球半径.［例1］已知四面体P-ABC中，PA=PB=4fPC=2,AC=2^fPB丄平面PM,则四面体P-ABCD外接球的表面积为【解析】由PA=4PC=2,AC=2V5,,PA2PC2=4C寫可得P4丄卩C；又・・・PB丄平面MC,P4PCu平面PAC,:丄P4,PF丄PC,以PA.PB.PC为长、宽、高，作长方体，则该长方体的外接球就是四面体P-4BC的外接球，•・•长方体的对角线长为"4U4U2乂=5.••长方体外接球的直径ZR=

3、6,得R=3,因此，四面体卩-佔£的外接球表面积为3=3671.故结果为S=3671.【点评】（1）本题看起来没有三条直线相交于一点且两两垂直的模型，但是通过推理分析得到了PA.PB、PC两两垂直,所以可以釆用模型法来求几何体外接球的半径.（2）利用模型法解答时，一定要保证儿何体的所有顶点都和长方体的顶点重合，这才能保证儿何体的外接球和长方体的外接球是同一个外接球，才能用长方体的外接球半径公式r=^yja2+h2+c2,有一个点不是长方体的顶点都不行.【反馈检测1］已知棱长为亦的正四面体（四个血都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面7T=4,AC=6,A=—，3的外接球的表面积

4、上，则球的体积为方法二解三角形法解题情景儿何体不能放到长方体模型中.解题步骤找到球心0和截面圆的圆心0‘，找到00'、球的半径04、截面圆的半径0%确定的Rt0fA,再解RtAOO'A求出球的半径0A.【例2】在直三棱柱ABC-A.B.C.中,ABAA=4,则直三棱柱ABC-ABjC,【解析】由题得直三棱柱ABC-AB.C.的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心Q和下底面外接圆的圆心q的连线o,o2的中点o-在三角形ABC中，由余弦定理得jBC2=42+62-2x4x6xcos^=28:.BC=2/j.由正弦定理得2^=2r二屈=2打=•兀3S1D——32在直角三角形0］。

5、/中，0A=R,001=2aO1A=r=-j21.所以J?2=4+-x21=44-—=—-Wx球的表面积为S=4尿=4兀比=空・93333【点评】（1）由于本题的几何体不宜放在长方体模型中，所以用解三角形法解答.（2）利用解三角形法求几何体外接球的半径，先要找到球心0的位置，耍找球心0的位置，没有固定的规律，要结合几何体的特征，发挥自己的空间想象力分析，本题由于是直三棱柱，所以球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，如果是其它的儿何体就不是这个位置了.找到球心o的位置后，再确定截而圆的圆心q位置，再表示出球心0到截面圆圆心Q的距离00「这个是难点，要结合几何图形分析•最后是解Rt0x

6、A,求出球的半径R.（2）如果儿何体底面是三角形，求截面圆的半径厂，一般利用正弦定理-^—=2r求截面圆的半径sinA【反馈检测2］已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，底面满足BA=BC=^B=900f若该三棱锥体积最大值为3,则其外接球的表面积为()3271A.21兀B.31671C.D.伽【反馈检测3】己知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球。的球面上，PALAB,〃丄^BAC=60°,PA=2,SB=2,AC=3,则球。的表面积为()40——71A.3302010——7T——7T——7TB.3C.3D.3高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第62讲:几何体外接球的半径的求

7、法参考答案9【反馈检测1答案】-7T【反馈检测1详细解析】如图〉将正四面体补形成一个正方体〉正四面体的外接球与正方体的外接球相同.・・•正四面体棱长为愿，二正方体的棱长是石，体对角线为3-3又T球的直径是正方体的对角线，设球半径是・・・2/?=3・・・《=-,243□9球的体积为一x-)a=-^.322【反馈检测2答案】D【反馈检测2详细解析】因为山氏为等腰直角三角形，所以AC为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球心0在截血ABC中的射影为AC的中点D,当