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《第77讲轨迹方程的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第77讲：轨迹方程的求法【知识要点】一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义在直角坐标系屮，如果曲线C上的点与一个二元方程/(x,y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解(纯粹性)；(2)以这个方稈的解为坐标的点都在曲线上(完备性).那么,这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化(1)建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；(2)设点：用有序实数对(兀,刃表示曲线上任意一点M的坐标(不要把其它的点的坐标设成(匕刃)；(3)列出
2、动点满足的限制条件：用坐标表示条件P(M),列出方程/(x,y)=0:(4)代点M(x,y)坐标到方程/(x,y)=0；(5)化简：化方程/(x,y)=0为最简形式；(6)检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.(可以省略)三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参(1)待定系数法：通过对己知条件的分析，发现动点满足某个曲线(圆、圆锥曲线)的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.(2)代入法：如果点M的运动是由于点P的运动引起的，可以先用点M的坐标表示点P的坐标，然后代入点P满足的方
3、程，即得动点M的轨迹方程.(3)直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.(4)参数法：动点M(x,y)的运动主要是由于某个参数。的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个[x=f((p)参数表示动点的坐标，即彳丿*,再消参.U二g(0)四、轨迹和轨迹方程轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.【方法讲评】方法一百接法使用情景已知中或图形中有动点满足的方程.解题步骤直接把动点的坐标代入已知的方程化简即可.【例1】线段AB与CD互相垂直平分于点。，
4、AB
5、=4,
6、CD
7、
8、=2,动点P满足『州"
9、=
10、卩邙"
11、,求动点P的轨迹方程.【解析】图I如團1,以曲中点0为原点，直线曲为x轴建立直角坐标系.设P(x,v),易知X-2,0>B(2,0)C(Q1)D(Q-1)・■・•网•阴=
12、旳㈣.•・J(x+2)：+于・J(x—2)：+护=Jx：+@_1)'・+(3'+・整理得2T-2于=3,故动点P的轨迹方程为2W-2于=3・【点评】(1)这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；(2)这道题是直接用坐标化简C知屮的
13、PA
14、・
15、
16、PB
17、=
18、pq・
19、PD
20、得到的轨迹方程，运用的是直接法.【例2】已知圆C：(兀+1)2+(y—1)2=4,由动点P向圆C引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,并且ZAPB=60,求点P的轨迹.【解析】设PgM,由题得A7MC是直角三角形，且ZPAC=90在直角三角形R4C中，乙4PC=30°一4C=2_
21、PC=斗.-J(x+l)2+(v-l)2=4_-.(x+1)2+(v-1)2=16所以动点P的轨迹方程为(x+l)2+(y-l)2=16它是以点(-1：1)为圆心，4为半径的圆.【点评】(1)这道题运用的是直接法，但是它是把己知条件转化得到的
22、一个等式
23、PC
24、=4,不是现存的等式.(2)轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.所以本题要描述轨迹的基本特征.【反馈检测1】在平面直角坐标系xQy中，EF两点的坐标分别为(0,1)、(0,-1),动点G满足:直线EG与直线FG的斜率之积为-丄.4(1)求动点G的轨迹方程；(2)设为动点G的轨迹的左右顶点，p为直线/：兀=4上的一动点(点p不在x轴上)，连【AP交G的轨迹于c点，连PB并延长交G的轨迹于£＞点，试问直线CD是否过定点？若成立，请求出该定
25、点坐标，若不成立，请说明理由.【反馈检测2】一条双曲线1的左、右顶点分别为4,点P(xpy,),eUp-yi)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线人戶与40交点的轨迹E的方程式;(2)若过点H(0/)(力＞1)的两条直线厶和厶与轨迹E都只有一个交点，且厶丄厶•求力的值•方法二待定系数法使用情景通过己知条件的分析可以得到动点满足某种曲线（圆、圆锥曲线）的定义.解题步骤（1）分析出动点满足的方程；（2）证明动点满足某曲线（圆、圆锥曲线）的定义；（3）设出该曲线的待定系数方程；（4）求出待定系数，即得所求的轨迹方程.【例3］已知动圆戶与两定圆O:x2+y
26、2=1和C:X+y2_8兀+12=0都外切，求动圆圆心的轨迹方程.【解析】设半径为r的动圆圆心为P（x,y）
