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《第53讲+异面直线所成的角的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练+Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第53讲:异面直线所成的角的求法【知识要点】一、异面直线的定义：直线a"是异面直线，经过空间任意一点0,分别引直线a{//a,bj/b,我们把直线q和勺所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和所成的角.7T二、异面直线所成的角的范围：CTG（0,-]2三、异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找T作（平移法、补形法）T证（定义）T指T求（解三角形）方法二：（向量法）COS（7=—•mn其中0C是异面直线加,川所成的角,n分别是直线m,n的方向向量.四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三
2、角形的知识解答.五、温馨提示如果你解三角形得到的角a的余弦是一个负值，如cosa二-丄，你不能说两条异面直线所成的角为2120°,你应该说两条异面直线所成的角为180（,-120°=60°,因为两条异面直线所成的角的范围为6ZG（0,-J.2【方法讲评】方法一儿何法使用情景图形中两条异面直线所成的角本身就存在或很方便就能作出.解题步骤找T作（平移法、补形法）T证（定义）T指T求（解三角形）【例1】如下左图，在RtABC屮，ZABC=60ZBAC=90°,AD是BC±的高，沿AD将ABC折成60°的二面角B-AD-C,如下右图.(1)证明：平面A3D丄平面BCD
3、；(2)设E为BC的中点，BD=2,求异面直线AE和所成的角的大小.【解析】(1)因为折起前AD是3C边上的高，则当AABD折起后，AD丄CD,AD丄BD,又CDC}BD=D，则AD丄平面BCD因为4Du平面ABD,所以平面ABD丄平面BCD.<2)取CD的中点F,连接EF,则EFHBD,所以厶EF为异面直线血:与BD所成的角，连结AF,DE,由BD=2?贝i」EF=l,AD=2^3?CD=6?DF=3.在RtSADF中，AF=yjAbrTD^=^2i.在ABCD中，由题设ZBDC=60则BC2=BD2^CD2-2BD-CD-cosZBDC=2^f即BC=亦，从而
4、醯期W，BSD肿監謬在SBDE中，DE2=BD1^BEX-2BDBEcosZCBD=13,在RfAADE中，AE=^AD2^DE2=5.在中〉cosXAEF=AE1+EF1-AF12AE-EF所以异面直线与BD所成的角的犬小为60°・【点评】(1)本题中异面直线AE与BD所成的角可以通过平移的方法作出，ZAEF为异面直线AE与3D所成的角.再利用余弦定理解zUEF即得.(2)利用几何法求异面直线所成的角，经常要解直角三角形或斜三角形，所以要用到直角三角函数或正余弦定理.【反馈检测1】如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD丄底面ABCD,PD=CD,(
5、1)求异面直线PA与DE所成的角；(2)在底边AD±是否存在一点F,使EF丄平面PBC2证明你的结论.方法二向量法使用情景图形中没有两条异面直线所成的角或不便作出.解题步骤建立空间直角坐标系T求两条直线m,n对应的的向量m,n的坐标T代入公式■—>m•nCOSQ二一_T写出两条异面直线所成角O的大小.mn【例2】如图，在四棱锥P-ABCD^,底面ABCD是菱形，ZABC=60,侧面PBC是边t为2的等边三角形，点E是PC的中点，且平面PBC丄平面ABCD.(I)求异面直线PD与AC所成角的余弦值；(II)若点F在线段PC上移动，是否存在点尸使平面BFD与平面APC所
6、成的角为9(T?若存在，指出点F的位置，否则说明理由.【解析】因为平面FEC丄平面ABCD,底面-43CD是菱形，ZABC=6Qr?ijjAB=BC=AC=PC=PB=2^.BC中点贝I」宜。丄BC?PO丄BC,PO丄/O以O为坐标原点，QP対x轴，OC^y轴建立平面直角坐标系，0(000),XOaOaS/3)35(0-1,0),e(o丄0)P(^33030)3D(02厉儿(I)ra=(-V3,2,V3),AC=(0J,-V3),贝iJ
7、?d
8、=V3+4+3=^,AC=VT+3=2,PD-4C=2-3=-l设异面直线PD与AC所成角为/cos&二PDACRR所以
9、异面直线PD与AC所成角的余弦值为—20（II）设存在点F,使平面肋Q与平面肿c所成的角为90-,设E3W因为PCF三点共线，W=XPC,序=9-筋血OhPC=（-^5丄O）所以,a=Q—心心=兀巩（1—刃筋，兄0）,设平面昨的—个法向量加=（w）,{;票的化:鶯爲T令坳=曲'm
10、一3）.皿
11、=+1；设平面APC的一个法向量为叫=（心儿內）、m2AP=0-/3z2=0m2-PC=0+y2=0令屯=],叫=，又叫.叫=^
12、+3-3=^i
13、''7l_1几一1A4-1若平面BFD与平面肿C所成的角为90-,则COS90-=告斗=——辜剛叫1屈讣暮）52故一=0,即A
