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《第54讲直线和平面所成的角的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第54讲:直线和平面所成的角的求法【知识要点】一、直线与平面所成的角的定义平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫这条斜线和平面所成的锐角，如果这条直线垂直于平面，直线和平面所成角是直角，如果直线和平面平行或直线在平面内，直线和平面所成的角就是零度.二、直线和平血所成角的范围当直线在平面内或和平面平行时，直线和平面所成的角为0°,直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为90°,斜线和平而所成的角为（0°,90°）,所以直线和平面所成的角的范帥为［0。,90。］・三、直线和平而所成的角的求法方法一：（几何法）找T作（定义法）T证
2、（定义）T指T求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）sinaABtiABn,其^AB是直线/的方向向量，〃是平面的法向量，&是直线和平而所成的角.四、求直线和平面所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答.【方法讲评】方法一几何法使用情景直线和平面所成的角存在或比较容易作出.解题步骤找T作（定义法）T证（定义）T指T求（解三角形）其关键是作出直线和平面所成的角和解三角形.【例1】如图，在五棱锥P-ABCDE中，P4丄平面ABCDE,AB\CD,AC\EDfAE
3、\BC,ZABC=45°,AE=2迈,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.（I）求证：平而PCD丄平面PAC；（II）求直线PB与平面PCD所成角的大小;（III）求四棱锥P-ACDE的体积.【解析】（I）证明：因为zS45C=45%AB=242?BC=4?所以在AABC中，由余弦定理得：AC2=（2血尸+牟・2x2JIx斗cos45°=8,解得AC=2Ji,所以AB2+AC2=8+8=16=BC2,即AB丄AC,又只4丄平面ABCDE,所以PA丄AB,又PJDAC=A,所以AB丄平面PAC,又胭
4、
5、CD,所以CD丄平面PAC,又因为CDu平面PCD,所以平
6、面PCD丄平面PAC・（II）由（I）知平面PCD丄平面PAC,所以在平面PAC内，过点A作AH丄PC于则AH丄平面PCD，乂AB\CD,AB（Z平面PCD内，所以AB平行于平而PCD,所以点A到平而PCD的距离等于点B到平面PCD的距离，过点B作B0丄平面PCD于点0，则ZfflD为所求角,且AH二BO,又容易求得AH=2,所以sinZPBO^-,即ZFBO=30,所以直线PB与平血PCD所成角的大小为30；2另解：另解：（II）因为APAB为等腰三角形，所以PA=AB=2^PB=4p^+PB2=4又AB//CD,所以点3到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距
7、离.rtlCD丄平面PAC,在RtPAC中，PA=2^2,AC=2^2,所以PC=4.故PC边上的高为2,即点A到平面的距离，即点点B到平面PCD的距离为2.设直线PB与平面PCD所成的角为0,贝>Jsin^=——=-=又&w[0,Q,所以3=-.PB4226（III）由（I）知CD丄平面PAC,所以CD丄AC,又AC\ED,所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得DE=0,AC=2迈,所以四边形ACDE的面积为丄（、伍+2血）x血=3,所以四棱锥2P-ACDE的体积为-x2>/2x3=2V2.3【点评】本题既可以利用向量法求解，也可以利用几何法求解，但是相比之下
8、，几何法简单一点.【反馈检测1】如图所示的儿何体中,MBC是正三角形，且EA丄平而ABC,丄平面ABC,M是AB的中点.(1)求证：CM丄EM；(2)若AB=2V2,AE=IBD=2,求DE与平面EMC所成角的正切值;(3)在(2)的条件下，求点M到平面CDE的距离.方法二向蜃法使用情最直线和平面所成的角不容易作出.解题步骤建立空间直角坐标系T求直线/的方向向量ABT求平面的法向量〃T代AB^n入公式sina=求出直线和平面所成的角a.ABn【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，A3丄PA,AB//CD，且PB=BC=BD=y/6,CD=2AB=2近,ZPAD=120
9、°.(1)求证：平面PAD丄平面PCD；(2)求直线PQ与平面PBC所成的角的正弦值.【解析】证明：(1)-BC=BDZE为CD中点，/.BE丄CD「・・AB0CD二CD=2AB,二ABRDE,且AB=DE：四边形川SED是矩形,/.BEUAD’BE=AD：AB丄ADj:AB丄只4,又PAQAD=A:AB丄平面PAD,:.CD丄FD,且CD丄川D，丁在平面PCD中,EFl!PD：CD丄EFyEFCBE=E二EFu平面BEFZBEu平面BEF,CD丄BE：CD丄平面BEF=・：CDu平面PCD,J.平面BEF丄平面PCD.(2)以A为原点，AB为兀轴
